Two parallel plates of area 100 cm^2 are given charges of equal magnitudes 8.9 times 10^-7 C but opposite signs. The electric field within the dielectric material filling the space between the plates is 1.4 times 10^6 V / m. (a) Calculate the dielectric constant of the material.
(b) Determine the magnitude of the charge induced on each dielectric surface.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas placas paralelas com área de 100 cm^2 e cargas de magnitudes iguais, 8.9 times 10^-7 C, mas de sinais opostos. Entre elas, tem um material dielétrico que cria um campo elétrico de 1.4 times 10^6 V/m. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores com dielétricos, para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

Primeiro, para calcular a constante dielétrica ( kappa), sabemos que o campo elétrico E em um capacitor com dielétrico está relacionado à densidade de carga sigma e à permissividade do vácuo epsilon0 pela fórmula:
E = sigmaepsilon0 kappa
Onde:
  • sigma é a densidade de carga superficial.
  • epsilon0 é a permissividade do vácuo, aproximadamente 8.85 times 10^-12 F/m.
  • kappa é a constante dielétrica que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a densidade de carga sigma. A densidade de carga é a carga dividida pela área:
sigma = QA
Primeiro, precisamos converter a área de 100 cm^2 para m^2:
100 cm^2 = 100 times 10^-4 m^2 = 0.01 m^2
Então,
sigma = 8.9 times 10^-7 C0.01 m^2 = 8.9 times 10^-5 C/m^2

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a fórmula do campo elétrico para encontrar a constante dielétrica kappa:
kappa = sigmaepsilon0 E
Substituindo os valores que temos:
kappa = 8.9 times 10^-5 C/m^28.85 times 10^-12 F/m times 1.4 times 10^6 V/m

Passo 5

Vamos calcular kappa:
kappa = 8.9 times 10^-58.85 times 10^-12 times 1.4 times 10^6 = 8.9 times 10^-51.239 times 10^-5 approx 7.19

Passo 6

Agora, para a parte (b), precisamos determinar a magnitude da carga induzida em cada superfície do dielétrico. A carga induzida Qi está relacionada à densidade de carga e à área:
Qi = sigmai times A
Sabemos que em um dielétrico, a densidade de carga induzida é:
sigmai = sigma (1 - 1kappa)
Substituindo kappa approx 7.19:
sigmai = 8.9 times 10^-5 C/m^2 (1 - 17.19) approx 8.9 times 10^-5 times 0.8602 approx 7.66 times 10^-5 C/m^2
Então, a carga induzida em cada superfície é:
Qi = 7.66 times 10^-5 C/m^2 times 0.01 m^2 = 7.66 times 10^-7 C

Resposta

(a) A constante dielétrica do material é aproximadamente kappa approx 7.19.
(b) A magnitude da carga induzida em cada superfície do dielétrico é 7.66 times 10^-7 C.

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