Em um circuito contendo apenas um resistor e um capacitor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
& v(t)=100 e^-1000 t(V), para t >= 0 & i(t)=5 e^-1000 t(mA), para t >= 0^+
Determine C;

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um circuito que só tem um resistor e um capacitor, e nos deram as fórmulas para a tensão e a corrente . Nosso objetivo é encontrar o valor do capacitor . Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RC (Resistor-Capacitor) e algumas fórmulas básicas de eletricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as expressões que foram dadas:
& v(t) = 100 e^-1000 t (V), para t >= 0 & i(t) = 5 e^-1000 t (mA), para t >= 0^+
Aqui, é a tensão no capacitor e é a corrente no circuito ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos lembrar como funciona um circuito RC. Quando um capacitor descarrega através de um resistor, a tensão e a corrente decaem exponencialmente com o tempo. As fórmulas gerais são:
v(t) = V0 e^-tRC
i(t) = V0R e^-tRC
Onde:
  • é a tensão inicial,
  • é a resistência,
  • é a capacitância,
  • é o tempo.

Passo 4

Comparando as fórmulas que temos com as gerais, percebemos que o expoente 1RC = 1000 Rightarrow RC = 11000 corresponde a . Então:
Isso nos dá a relação entre e .

Passo 5

Agora, vamos usar a expressão da corrente para encontrar i(t) = V0R e^-1000 t . Sabemos que:
V0R = 5 , mA
Comparando com a expressão dada 100R = 0.005 Rightarrow R = 1000.005 = 20000 , Omega mA, temos:
Sabendo que V, substituímos:

Passo 6

Agora que temos C = 11000 times R = 11000 times 20000 = 120000000 = 5 times 10^-8 , F , podemos usar a relação 5 times 10^-8 , F = 50 , nF para encontrar :
Convertendo para nanofarad (nF):

Resposta

O valor do capacitor é de 50 nanofarad (nF).

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