Em um circuito contendo apenas um resistor e um capacitor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
& v(t)=100 e^-1000 t(V), para t >= 0 & i(t)=5 e^-1000 t(mA), para t >= 0^+
Determine R;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as expressões para a tensão e a corrente em um circuito que tem somente um resistor e um capacitor. Queremos descobrir o valor de R, que é a resistência do resistor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RC (resistor e capacitor) e usar algumas fórmulas básicas de eletricidade, como a Lei de Ohm.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões que nos foram dadas:
v(t) = 100 e^-1000 t , V, t >= 0
i(t) = 5 e^-1000 t , mA, t >= 0^+
Aqui, é a tensão no capacitor e é a corrente no circuito.

Passo 3

Sabemos que, em um circuito em série com resistor e capacitor, a corrente vR(t) = R cdot i(t) é a mesma tanto no resistor quanto no capacitor. A Lei de Ohm nos diz que a tensão no resistor é igual a resistência vezes a corrente :

Passo 4

Além disso, a tensão total no circuito vtotal(t) = vR(t) + vC(t) é a soma das tensões no resistor e no capacitor:
v(t) = vtotal(t) - vR(t)
No nosso caso, é a tensão no capacitor, então podemos reescrever:

Passo 5

Substituindo v(t) = vtotal(t) - R cdot i(t) na equação anterior, temos:
Mas no momento inicial , a tensão no capacitor é V e a corrente é mA.

Passo 6

Assumindo que a tensão total v(t) = vtotal(t) - R cdot i(t) 100 = vtotal(0) - R cdot 5 times 10^-3 é fornecida apenas pelo capacitor no instante inicial, podemos rearranjar a equação para resolver 100 = 100 - R cdot 5 times 10^-3 0 = - R cdot 5 times 10^-3 R cdot 5 times 10^-3 = 0 :
Como V, temos:
Isso sugere que há algo errado na abordagem. Na verdade, devemos considerar a relação entre a corrente e a taxa de variação da tensão no capacitor.

Passo 7

A corrente em um capacitor é dada por:
i(t) = C cdot dv(t)dt
Onde é a capacitância. Porém, não temos o valor de . Mas também sabemos que e . Como o circuito está em série, .

Passo 8

Vamos derivar dv(t)dt = ddt [100 e^-1000 t] = -100 times 1000 e^-1000 t = -100,000 e^-1000 t , V/s :
i(t) = C cdot (-100,000 e^-1000 t)
Então, a corrente no capacitor é:
Mas sabemos que mA, que é A.

Passo 9

Igualando as duas expressões para C cdot (-100,000 e^-1000 t) = 0,005 e^-1000 t -100,000 C = 0,005 C = -0,005100,000 = -5 times 10^-8 , F :
C cdot 100,000 = 0,005 C = 0,005100,000 = 5 times 10^-8 , F
Mas capacitância não pode ser negativa, então provavelmente há um erro de sinal na derivada. Vamos considerar sem o sinal negativo:

Passo 10

Agora, sabemos que a constante de tempo 0,001 = R cdot 5 times 10^-8 R = 0,0015 times 10^-8 = 20,000 , Omega em um circuito RC é . Olhando para as exponenciais, temos , então , então s.
Sabemos que , então:

Resposta

O valor de é .

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