Em um circuito contendo apenas um resistor e um capacitor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
Determine R;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá as expressões para a tensão e a corrente em um circuito que tem somente um resistor e um capacitor. Queremos descobrir o valor de R, que é a resistência do resistor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos RC (resistor e capacitor) e usar algumas fórmulas básicas de eletricidade, como a Lei de Ohm.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões que nos foram dadas:
Aqui,
é a tensão no capacitor e
é a corrente no circuito.
Passo 3
Sabemos que, em um circuito em série com resistor e capacitor, a corrente
é a mesma tanto no resistor quanto no capacitor. A Lei de Ohm nos diz que a tensão no resistor
é igual a resistência
vezes a corrente
:
Passo 4
Além disso, a tensão total no circuito
é a soma das tensões no resistor e no capacitor:
No nosso caso,
é a tensão no capacitor, então podemos reescrever:
Passo 5
Substituindo
na equação anterior, temos:
Mas no momento inicial
, a tensão no capacitor é
V e a corrente é
mA.
Passo 6
Assumindo que a tensão total
é fornecida apenas pelo capacitor no instante inicial, podemos rearranjar a equação para resolver
:
Como
V, temos:
Isso sugere que há algo errado na abordagem. Na verdade, devemos considerar a relação entre a corrente e a taxa de variação da tensão no capacitor.
Passo 7
A corrente em um capacitor é dada por:
Onde
é a capacitância. Porém, não temos o valor de
. Mas também sabemos que
e
. Como o circuito está em série,
.
Passo 8
Vamos derivar
:
Então, a corrente no capacitor é:
Mas sabemos que
mA, que é
A.
Passo 9
Igualando as duas expressões para
:
Mas capacitância não pode ser negativa, então provavelmente há um erro de sinal na derivada. Vamos considerar
sem o sinal negativo:
Passo 10
Agora, sabemos que a constante de tempo
em um circuito RC é
. Olhando para as exponenciais, temos
, então
, então
s.
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor de
é
.