Em um circuito contendo apenas um resistor e um capacitor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
Quanto tempo (em ) é necessário para que da energia armazenada no capacitor seja dissipada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito que tem só um resistor e um capacitor. A gente tem as fórmulas que descrevem a tensão no capacitor, volts, e a corrente no circuito, miliamperes, para . Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, em microssegundos ( ), leva para que 80% da energia armazenada no capacitor seja dissipada.
Conteúdo da matéria: Circuitos RC (Resistor-Capacitor), energia armazenada em capacitores, leis de decaimento exponencial.
O que vamos precisar: Entender como a energia no capacitor se relaciona com a tensão, aplicar o conceito de decaimento exponencial da energia e resolver uma equação exponencial para achar o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A energia armazenada em um capacitor é dada por:
onde:
  • é a capacitância,
  • é a tensão no capacitor no tempo .
Como a tensão está decaindo exponencialmente, a energia também vai decair com o tempo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo em que 80% da energia inicial foi dissipada. Isso significa que queremos que a energia restante seja 20% da energia inicial.
Então, queremos que:
Onde:
  • é a energia inicial no capacitor (quando ),
  • é a energia no tempo .

Passo 4

Vamos substituir a fórmula da energia no capacitor na equação acima:
Podemos simplificar os termos comuns:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
Sabemos que e V (quando ).

Passo 5

Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver para . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 7

Isolando :
Calculando :
Então:

Passo 8

Finalizando o cálculo:
Convertendo para microssegundos ( ):

Resposta

O tempo necessário para que 80 % da energia armazenada no capacitor seja dissipada é de aproximadamente 805 µs.

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Determine C;
A tensão é aplicada a um indutor de . Determine a corrente de regime permanente através do indutor.
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Determine R;
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Determine a constante de tempo do circuito (em ms );