Em um circuito contendo apenas um resistor e um capacitor, as expressões para a tensão e para a corrente são:
& v(t)=100 e^-1000 t(V), para t >= 0 & i(t)=5 e^-1000 t(mA), para t >= 0^+
Quanto tempo (em mu s ) é necessário para que 80 % da energia armazenada no capacitor seja dissipada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito que tem só um resistor e um capacitor. A gente tem as fórmulas que descrevem a tensão no capacitor, volts, e a corrente no circuito, miliamperes, para . Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, em microssegundos ( ), leva para que 80% da energia armazenada no capacitor seja dissipada.
Conteúdo da matéria: Circuitos RC (Resistor-Capacitor), energia armazenada em capacitores, leis de decaimento exponencial.
O que vamos precisar: Entender como a energia no capacitor se relaciona com a tensão, aplicar o conceito de decaimento exponencial da energia e resolver uma equação exponencial para achar o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A energia U = 12 C v(t)^2 armazenada em um capacitor é dada por:
onde:
  • é a capacitância,
  • é a tensão no capacitor no tempo .
Como a tensão está decaindo exponencialmente, a energia também vai decair com o tempo.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo U(t) = 0.2 times U0 em que 80% da energia inicial foi dissipada. Isso significa que queremos que a energia restante seja 20% da energia inicial.
Então, queremos que:
Onde:
  • é a energia inicial no capacitor (quando ),
  • é a energia no tempo .

Passo 4

Vamos substituir a fórmula da energia no capacitor na equação acima:
12 C v(t)^2 = 0.2 times 12 C v0^2
Podemos simplificar os termos comuns:
v(t)^2 = 0.2 times v0^2
Tomando a raiz quadrada dos dois lados:
v(t) = raiz0.2 times v0
Sabemos que e V (quando ).

Passo 5

Substituindo 100 e^-1000 t = raiz0.2 times 100 e e^-1000 t = raiz0.2 na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver para -1000 t = ln(raiz0.2) . Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-1000 t = 12 ln(0.2)
Sabemos que , então:

Passo 7

Isolando t = -12 times 1000 ln(0.2) :
ln(0.2) approx -1.6094
Calculando t = -12000 times (-1.6094) = 1.60942000 :
Então:

Passo 8

Finalizando o cálculo:
t approx 1.60942000 approx 0.0008047 segundos
Convertendo para microssegundos ( t approx 804.7 , mu s ):

Resposta

O tempo necessário para que 80 % da energia armazenada no capacitor seja dissipada é de aproximadamente 805 µs.

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