Um circuito elétrico é composto por uma fonte eletromotriz que em cada instante t fornece uma tensão E(t), um elemento com resistência R e outro elemento com indutância L, ligados em série (circuíto RL). Nestas condições, a intensidade de corrente em cada instante i(t) obedece a equação diferencial
L di/dt + R i = E(t)
Determinar a intensidade de corrente i(t), quando E(t) = 200 sen(t) volts, L = 100 henry, R = 100 ohms e i(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito elétrico com uma fonte de tensão que varia no tempo, um resistor e uma indutância, todos ligados em série. Nosso objetivo é encontrar a intensidade da corrente elétrica nesse circuito quando a fonte fornece uma tensão de volts. Para isso, vamos precisar resolver uma equação diferencial de primeira ordem que descreve o comportamento desse circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que rege o circuito:
Onde:
  • henry
  • ohms
  • volts

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Em termos simples, isso significa que a taxa de variação da corrente está relacionada à própria corrente e a uma função de força externa . Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante.

Passo 4

Vamos reescrever a equação na forma padrão:
Substituindo os valores de e :
Aqui, e .

Passo 5

Agora, encontramos o fator integrante , que é dado por:
Onde . Portanto:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que:
Aplicando isso aqui, com e :

Passo 8

Então, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A intensidade da corrente no circuito é:

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