Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação dada é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, como a separação de variáveis e encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a manipulação. Temos:
Podemos reescrever
como
:
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para separar os termos:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, rearranjamos a equação para obter uma forma padrão de equação diferencial linear. Colocamos todos os termos envolvendo
de um lado:
Podemos escrever isso como:
Passo 5
Percebemos que a equação não é exata e não é facilmente separável. Portanto, vamos procurar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata. Observando a forma, sugerimos uma substituição para simplificar.
Vamos usar a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Usando a substituição de
, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial simples em termos de
:
Podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à substituição original
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Passo 10
Substituindo
na equação:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para
:
Como a condição inicial
é positiva, escolhemos o sinal positivo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: