Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y' = y^3 / (1 - 2 x y^2), y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação dada é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de resolução de equações diferenciais, como a separação de variáveis e encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a manipulação. Temos:
Podemos reescrever como :

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para separar os termos:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, rearranjamos a equação para obter uma forma padrão de equação diferencial linear. Colocamos todos os termos envolvendo de um lado:
Podemos escrever isso como:

Passo 5

Percebemos que a equação não é exata e não é facilmente separável. Portanto, vamos procurar um fator integrante que nos ajude a tornar a equação exata. Observando a forma, sugerimos uma substituição para simplificar.
Vamos usar a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por :
Usando a substituição de , temos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial simples em termos de :
Podemos integrar ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à substituição original :
Podemos reescrever isso como:

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Passo 10

Substituindo na equação:

Passo 11

Finalmente, resolvemos para :
Como a condição inicial é positiva, escolhemos o sinal positivo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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