Inverta a ordem de integração.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem de integração de uma dupla integral. A integral original é:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de
até
, e depois em relação a
de 0 a 1. Para inverter a ordem, precisamos redesenhar a região de integração no plano
e descobrir os novos limites para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de até .
Vamos traçar essas linhas no plano
:
-
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2. -
é outra linha reta que intercepta o eixo em 1 e tem inclinação 1.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas linhas para entender melhor a região:
Então, as duas linhas se cruzam no ponto
. Mas nosso
só vai até 1, então a região de integração está entre
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integra��ão, precisamos expressar
em termos de
. Observando as equações:
- De
, temos . - De
, temos .
No entanto, precisamos determinar os limites de
. Quando
varia de 0 a 1:
- Quando
, vai de 0 até 1. - Quando
, vai de 2 até 2.
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 5
Com isso, para cada
:
- Quando
está entre 0 e 1, varia de 0 a . - Quando
está entre 1 e 2, varia de a .
Passo 6
Portanto, ao inverter a ordem de integração, a integral fica dividida em duas partes:
- Para
de 0 a 1:
- Para
de 1 a 2:
Passo 7
Juntando as duas partes, a ordem invertida da integração fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Um circuito elétrico é composto por uma fonte eletromotriz que em cada instante
fornece uma tensão
, um elemento com resistência
e outro elemento com indutância
, ligados em série (circuíto RL). Nestas condições, a intensidade de corrente em cada instante
obedece a equação diferencial
Determinar a intensidade de corrente
, quando
volts,
henry,
ohms e
.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Determine o domínio das seguintes funções:
j)
j)
Determine o domínio das seguintes funções:
p)
p)