Inverta a ordem de integração.
(a) integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem de integração de uma dupla integral. A integral original é:
integral0^1[integral2x^x+1 f(x, y) , dy] dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de até , e depois em relação a de 0 a 1. Para inverter a ordem, precisamos redesenhar a região de integração no plano e descobrir os novos limites para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de até .
Vamos traçar essas linhas no plano :
  • é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 2.
  • é outra linha reta que intercepta o eixo em 1 e tem inclinação 1.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas linhas para entender melhor a região:
2x = x + 1 Rightarrow x = 1
Então, as duas linhas se cruzam no ponto . Mas nosso só vai até 1, então a região de integração está entre e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integra��ão, precisamos expressar em termos de . Observando as equações:
  • De , temos .
  • De , temos .
No entanto, precisamos determinar os limites de . Quando varia de 0 a 1:
  • Quando , vai de 0 até 1.
  • Quando , vai de 2 até 2.
Então, varia de 0 a 2.

Passo 5

Com isso, para cada :
  • Quando está entre 0 e 1, varia de 0 a .
  • Quando está entre 1 e 2, varia de a .

Passo 6

Portanto, ao inverter a ordem de integração, a integral fica dividida em duas partes:
  1. Para integral0^1 [ integral0^y2 f(x, y) , dx ] dy de 0 a 1:
integral1^2 [ integraly - 1^y2 f(x, y) , dx ] dy
  1. Para de 1 a 2:

Passo 7

Juntando as duas partes, a ordem invertida da integração fica:
integral0^1 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy + integral1^2 integraly - 1^y2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy ,+, integral1^2 integraly - 1^y2 f(x, y) , dx , dy

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