Em um circuito elétrico, a corrente I é dada por I=VraizR^2+w^2 L^2, onde V é a voltagem, R é a resistência, L é a indutância e w uma constante positiva. Determine partial Ipartial R e partial Ipartial L.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um circuito elétrico onde a corrente I é dada pela fórmula I = VraizR^2 + w^2 L^2. O conteúdo da matéria envolve cálculo de derivadas parciais. Precisamos determinar as derivadas de I em relação a R (resistência) e L (indutância). Para resolver, vamos usar as regras de derivação de funções compostas e a derivada de funções com expoentes negativos.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de I em relação a R, ou seja, partial Ipartial R. Aqui, tratamos L como uma constante.
Primeiro, reescrevemos a expressão de I para facilitar a derivação:
I = V cdot (R^2 + w^2 L^2)^- 12
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de (R^2 + w^2 L^2)^- 12 em relação a R é:
- 12 cdot (R^2 + w^2 L^2)^- 32 cdot 2R
Multiplicando isso por V, temos:
partial Ipartial R = -V R(R^2 + w^2 L^2)^32

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de I em relação a L, ou seja, partial Ipartial L. Desta vez, tratamos R como uma constante.
Reescrevemos novamente a expressão de I:
I = V cdot (R^2 + w^2 L^2)^- 12
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de (R^2 + w^2 L^2)^- 12 em relação a L é:
- 12 cdot (R^2 + w^2 L^2)^- 32 cdot 2w^2 L
Multiplicando por V, obtemos:
partial Ipartial L = -V w^2 L(R^2 + w^2 L^2)^32

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Ipartial R = -V R(R^2 + w^2 L^2)^32
e
partial Ipartial L = -V w^2 L(R^2 + w^2 L^2)^32

Exercícios relacionados