Enuncie o Teorema de Clairaut-Schwartz.
Passo 1
Vamos ler o enunciado: “Enuncie o Teorema de Clairaut-Schwartz.” Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente relacionado às derivadas parciais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Clairaut-Schwartz e em que situações ele se aplica.
Passo 2
O Teorema de Clairaut-Schwartz trata da igualdade das derivadas parciais de segunda ordem quando essas derivadas são contínuas. Basicamente, ele nos diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então a ordem em que fazemos as derivadas não altera o resultado.
Por exemplo, se temos uma função
que é suficientemente suave (ou seja, tem derivadas parciais contínuas de segunda ordem), então:
Isso significa que derivar primeiro em relação a
e depois em relação a
dá o mesmo resultado que derivar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Resposta
O Teorema de Clairaut-Schwartz afirma que, para funções com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, a ordem das derivações não altera o resultado. Em outras palavras: