Mostre que f(x, y) = { (x * y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) } não admite plano tangente em (0, 0, f(0, 0)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função definida por
não tem um plano tangente no ponto . Isso está relacionado ao tema de diferenciabilidade e planos tangentes em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como verificar se uma função tem um plano tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, se a função tem um plano tangente no ponto , isso significa que podemos aproximar a função perto desse ponto por um plano linear. Matematicamente, isso está ligado à diferenciabilidade da função nesse ponto.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade de em , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a no ponto . Vamos começar encontrando essas derivadas.

Passo 4

A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por:
Vamos calcular:
Então,

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a no ponto :
Calculando:
Então,

Passo 6

Até aqui, temos que as derivadas parciais e existem e são iguais a 0. Mas isso não garante que a função seja diferenciável no ponto . Precisa verificar se a aproximação linear realmente funciona.

Passo 7

A função é diferenciável em se existe um limite:
Substituindo e as derivadas parciais encontradas:

Passo 8

Vamos calcular o limite:
Vamos analisar se esse limite é 0.

Passo 9

Para investigar o limite, podemos usar coordenadas polares. Seja e , onde .
Substituindo:

Passo 10

Agora, o limite se torna:
Note que esse limite depende do ângulo , ou seja, o valor varia conforme a direção de se aproxima de . Isso significa que o limite não é único.

Passo 11

Como o limite depende de e não converge para um único valor, a condição para diferenciabilidade não é satisfeita. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

A função não admite plano tangente em porque não é diferenciável nesse ponto.

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