Mostre que
não admite plano tangente em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
definida por
não tem um plano tangente no ponto
. Isso está relacionado ao tema de diferenciabilidade e planos tangentes em cálculo multivariável. Vamos precisar entender como verificar se uma função tem um plano tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, se a função
tem um plano tangente no ponto
, isso significa que podemos aproximar a função perto desse ponto por um plano linear. Matematicamente, isso está ligado à diferenciabilidade da função nesse ponto.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade de
em
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
no ponto
. Vamos começar encontrando essas derivadas.
Passo 4
A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
Vamos calcular:
Então,
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
:
Calculando:
Então,
Passo 6
Até aqui, temos que as derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0. Mas isso não garante que a função seja diferenciável no ponto
. Precisa verificar se a aproximação linear realmente funciona.
Passo 7
A função
é diferenciável em
se existe um limite:
Substituindo
e as derivadas parciais encontradas:
Passo 8
Vamos calcular o limite:
Vamos analisar se esse limite é 0.
Passo 9
Para investigar o limite, podemos usar coordenadas polares. Seja
e
, onde
.
Substituindo:
Passo 10
Agora, o limite se torna:
Note que esse limite depende do ângulo
, ou seja, o valor varia conforme a direção de
se aproxima de
. Isso significa que o limite não é único.
Passo 11
Como o limite depende de
e não converge para um único valor, a condição para diferenciabilidade não é satisfeita. Portanto, a função
não é diferenciável em
.
Resposta
A função
não admite plano tangente em
porque não é diferenciável nesse ponto.