Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
dd t[l x1 x2 ]=[rr -12 & -18 2 & -12 ]binomx1x2
Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico. Nosso objetivo é classificar o ponto crítico e descobrir se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e análise de estabilidade, principalmente trabalhando com autovalores da matriz que representa o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = -12 & -18 2 & -12
Para classificar o ponto crítico, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores nos ajudarão a entender o comportamento do sistema perto do ponto crítico.

Passo 3

Os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) são encontrados resolvendo o determinante da matriz A - lambda I = -12 - lambda & -18 2 & -12 - lambda igual a zero:
(-12 - lambda)^2 - (-18 times 2) = 0
Onde (-12 - lambda)^2 + 14 = 0 é a matriz identidade. Vamos montar essa matriz:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática resultante:
(-12 - lambda)^2 + 14 = 0 Rightarrow (-12 - lambda)^2 = -14
Como o lado direito é negativo, isso indica que os autovalores são complexos. Vamos calcular:
-12 - lambda = pm 12i Rightarrow lambda = -12 pm 12i

Passo 5

Agora que temos os autovalores:
lambda1 = -12 + 12i lambda2 = -12 - 12i
Como os autovalores têm parte real negativa ( ) e são complexos com parte imaginária, isso indica que o ponto crítico é um foco estável.

Resposta

O ponto crítico é um foco estável, ou seja, ele é assintoticamente estável.

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Classifique o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.
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