Um circuito elétrico é descrito pelo sistema de equações diferenciais.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve um circuito elétrico. Nosso objetivo é classificar o ponto crítico
e descobrir se ele é estável, assintoticamente estável ou instável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e análise de estabilidade, principalmente trabalhando com autovalores da matriz que representa o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Para classificar o ponto crítico, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Os autovalores nos ajudarão a entender o comportamento do sistema perto do ponto crítico.
Passo 3
Os autovalores (
) são encontrados resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Onde
é a matriz identidade. Vamos montar essa matriz:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática resultante:
Como o lado direito é negativo, isso indica que os autovalores são complexos. Vamos calcular:
Passo 5
Agora que temos os autovalores:
Como os autovalores têm parte real negativa (
) e são complexos com parte imaginária, isso indica que o ponto crítico é um foco estável.
Resposta
O ponto crítico
é um foco estável, ou seja, ele é assintoticamente estável.
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Encontre o domínio das seguintes funções:
(d) .
(d)
Considere
e a curva
.
c) Calcule usando a regra da cadeia.
c) Calcule
Sendo
, mostre que
.
Classifique o ponto crítico
em relação ao tipo e determine se é estável, assintoticamente estável e instável.