Sendo z=f(x-y)y, mostre que z+y partial zpartial x+y partial zpartial y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos mostrar que . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, então vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = 1y cdot f'(x - y) em relação a , ou seja, .
Sabemos que . Para derivar em relação a , tratamos como constante. Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = -f(x - y) y^2 + 1y cdot (-f'(x - y)) em relação a partial zpartial y = -f(x - y)y^2 - f'(x - y)y , ou seja, .
Temos novamente . Aqui, aparece no denominador e dentro da função , então usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão z + y partial zpartial x + y partial zpartial y = f(x - y)y + y ( f'(x - y)y ) + y ( -f(x - y)y^2 - f'(x - y)y ) usando as derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
f(x - y)y + y f'(x - y)y - y f(x - y)y^2 - y f'(x - y)y
Simplificando cada fração:
f(x - y)y + f'(x - y) - f(x - y)y - f'(x - y)
Agora, vemos que os termos se cancelam:
f(x - y)y - f(x - y)y + f'(x - y) - f'(x - y) = 0

Resposta

0

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