Um circuito é formado por um indutor de indutância ligado em série a um resistor de resistência e conectado, por meio de uma chave, a uma bateria que fornece uma diferença de potencial . No instante , a chave é fechada e a corrente começa a fluir pelo circuito.
(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
© Obtenha a equação diferencial para a corrente no circuito.
(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
(e) Represente graficamente o comportamento da corrente no circuito em função do tempo .
(f) Obtenha expressões para as tensões no resistor e no indutor.
(g) Calcule a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a grandeza onde é a energia armazenada no indutor.
(h) Mostre que a energia se conserva.
(i) Qual é o tempo característico desse circuito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito que é composto por um indutor de indutância e um resistor de resistência ligados em série a uma bateria que fornece uma diferença de potencial . Quando fechamos a chave no instante , a corrente começa a fluir. Para resolver as questões desse exercício, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como leis de Kirchhoff, propriedades de indutores e resistores, além de resolver equações diferenciais.

Passo 2

(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
Quando fechamos a chave, a corrente não sobe instantaneamente. Isso acontece por causa do indutor, que resiste a mudanças na corrente. Inicialmente, a corrente começa baixa e vai aumentando gradualmente até atingir um valor estável. Esse comportamento é chamado de corrente de crescimento exponencial.

Passo 3

(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
A bateria fornece energia ao circuito. Parte dessa energia é armazenada no campo magnético do indutor e outra parte é dissipada como calor no resistor. Inicialmente, mais energia vai para o indutor, mas conforme a corrente se estabiliza, a maior parte da energia fornecida passa a ser dissipada no resistor.

Passo 4

© Obtenha a equação diferencial para a corrente V0 = VR + VL no circuito.
Vamos usar a Lei de Kirchhoff para as tensões. A soma das quedas de tensão no resistor e no indutor é igual à tensão da bateria:
V0 = R cdot I(t) + L cdot dI(t)dt
Sabendo que L cdot dI(t)dt + R cdot I(t) = V0 e , substituímos:
Rearranjando:
Essa é a equação diferencial que descreve a corrente no circuito.

Passo 5

(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
A equação diferencial é:
L cdot dI(t)dt + R cdot I(t) = V0
Essa é uma equação linear de primeira ordem. A solução geral é:
I(t) = V0R (1 - e^-RLt)
Considerando que no instante , a corrente , a condição inicial está satisfeita.

Passo 6

(e) Represente graficamente o comportamento da corrente no circuito em função do tempo .
A corrente começa em zero e aumenta exponencialmente, aproximando-se de um valor máximo de . O gráfico será uma curva que sobe rapidamente no início e depois se estabiliza.

Passo 7

(f) Obtenha expressões para as tensões VR(t) = R cdot I(t) = V0 (1 - e^-RLt) no resistor e VL(t) = L cdot dI(t)dt = V0 e^-RLt no indutor.
Usando as expressões:

Passo 8

(g) Calcule a potência PV(t) = V0 cdot I(t) = V0 cdot V0R (1 - e^-RLt) = V0^2R (1 - e^-RLt) fornecida pela bateria, a potência PR(t) = VR(t) cdot I(t) = V0 (1 - e^-RLt) cdot V0R (1 - e^-RLt) = V0^2R (1 - e^-RLt)^2 dissipada no resistor e a grandeza UL = 12 L I(t)^2 onde d ULdt = L I(t) dI(t)dt = VL(t) cdot I(t) = V0 e^-RLt cdot V0R (1 - e^-RLt) = V0^2R e^-RLt (1 - e^-RLt) é a energia armazenada no indutor.
As potências são:
A energia armazenada no indutor é:
Portanto,

Passo 9

(h) Mostre que a energia se conserva.
Vamos verificar se a potência fornecida pela bateria é igual à soma da potência dissipada no resistor e da taxa de variação da energia no indutor:
PV(t) = PR(t) + d ULdt
Substituindo as expressões encontradas:
V0^2R (1 - e^-RLt) = V0^2R (1 - e^-RLt)^2 + V0^2R e^-RLt (1 - e^-RLt)
Fatorando V0^2R (1 - e^-RLt) [1 - e^-RLt + e^-RLt] = V0^2R (1 - e^-RLt) :
Está igual, mostrando que a energia é conservada.

Passo 10

(i) Qual é o tempo característico desse circuito?
O tempo característico tau = LR de um circuito R-L é dado por:
Esse tempo indica quanto tempo leva para a corrente atingir aproximadamente 63% do seu valor final.

Resposta

Resumindo, analisamos o comportamento da corrente em um circuito R-L após o fechamento da chave, obtivemos a equação diferencial que descreve essa corrente, resolvemos essa equação considerando as condições iniciais, e exploramos as energias envolvidas, mostrando que a conservação de energia é mantida. Além disso, identificamos o tempo característico do circuito como , que determina a rapidez com que a corrente atinge seu valor estacionário.

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