Um circuito é formado por um indutor de indutância
ligado em série a um resistor de resistência
e conectado, por meio de uma chave, a uma bateria que fornece uma diferença de potencial
. No instante
, a chave é fechada e a corrente começa a fluir pelo circuito.
(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
© Obtenha a equação diferencial para a corrente
no circuito.
(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
(e) Represente graficamente o comportamento da corrente
no circuito em função do tempo
.
(f) Obtenha expressões para as tensões
no resistor e
no indutor.
(g) Calcule a potência
fornecida pela bateria, a potência
dissipada no resistor e a grandeza
onde
é a energia armazenada no indutor.
(h) Mostre que a energia se conserva.
(i) Qual é o tempo característico desse circuito?
(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
© Obtenha a equação diferencial para a corrente
(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
(e) Represente graficamente o comportamento da corrente
(f) Obtenha expressões para as tensões
(g) Calcule a potência
(h) Mostre que a energia se conserva.
(i) Qual é o tempo característico desse circuito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito que é composto por um indutor de indutância
e um resistor de resistência
ligados em série a uma bateria que fornece uma diferença de potencial
. Quando fechamos a chave no instante
, a corrente começa a fluir. Para resolver as questões desse exercício, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos, como leis de Kirchhoff, propriedades de indutores e resistores, além de resolver equações diferenciais.
Passo 2
(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
Quando fechamos a chave, a corrente não sobe instantaneamente. Isso acontece por causa do indutor, que resiste a mudanças na corrente. Inicialmente, a corrente começa baixa e vai aumentando gradualmente até atingir um valor estável. Esse comportamento é chamado de corrente de crescimento exponencial.
Passo 3
(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
A bateria fornece energia ao circuito. Parte dessa energia é armazenada no campo magnético do indutor e outra parte é dissipada como calor no resistor. Inicialmente, mais energia vai para o indutor, mas conforme a corrente se estabiliza, a maior parte da energia fornecida passa a ser dissipada no resistor.
Passo 4
© Obtenha a equação diferencial para a corrente
no circuito.
Vamos usar a Lei de Kirchhoff para as tensões. A soma das quedas de tensão no resistor e no indutor é igual à tensão da bateria:
Sabendo que
e
, substituímos:
Rearranjando:
Essa é a equação diferencial que descreve a corrente no circuito.
Passo 5
(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
A equação diferencial é:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. A solução geral é:
Considerando que no instante
, a corrente
, a condição inicial está satisfeita.
Passo 6
(e) Represente graficamente o comportamento da corrente
no circuito em função do tempo
.
A corrente começa em zero e aumenta exponencialmente, aproximando-se de um valor máximo de
. O gráfico será uma curva que sobe rapidamente no início e depois se estabiliza.
Passo 7
(f) Obtenha expressões para as tensões
no resistor e
no indutor.
Usando as expressões:
Passo 8
(g) Calcule a potência
fornecida pela bateria, a potência
dissipada no resistor e a grandeza
onde
é a energia armazenada no indutor.
As potências são:
A energia armazenada no indutor é:
Portanto,
Passo 9
(h) Mostre que a energia se conserva.
Vamos verificar se a potência fornecida pela bateria é igual à soma da potência dissipada no resistor e da taxa de variação da energia no indutor:
Substituindo as expressões encontradas:
Fatorando
:
Está igual, mostrando que a energia é conservada.
Passo 10
(i) Qual é o tempo característico desse circuito?
O tempo característico
de um circuito R-L é dado por:
Esse tempo indica quanto tempo leva para a corrente atingir aproximadamente 63% do seu valor final.
Resposta
Resumindo, analisamos o comportamento da corrente em um circuito R-L após o fechamento da chave, obtivemos a equação diferencial que descreve essa corrente, resolvemos essa equação considerando as condições iniciais, e exploramos as energias envolvidas, mostrando que a conservação de energia é mantida. Além disso, identificamos o tempo característico do circuito como
, que determina a rapidez com que a corrente atinge seu valor estacionário.
Exercícios relacionados
A corrente
, em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância
, inicialmente carregado com carga
, ligado a um resistor de resistência
, durante o processo de descarga do capacitor, é dada por
. Determine a relação entre
e
.
Uma partícula carregada, com carga elétrica negativa, de valor
, e massa
, movese para a direita com relação a um sistema de coordenadas, com velocidade v
. Então atravessa uma extensa região com um campo magnético, dirigido para baixo, com intensidade
T e começa então a realizar uma órbita circular.
d) Calcule o período e a frequência angular da partícula.
d) Calcule o período e a frequência angular da partícula.
A corrente
, em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância
, inicialmente carregado com carga
, ligado a um resistor de resistência
, durante o processo de descarga do capacitor, é dada por
. Escreva a expressão para a potência dissipada no resistor,
.
Uma bateria de 12 V está ligada a uma pequena lâmpada.
A corrente no circuito é de 1,5 A. Calcule a Potência elétrica, em watts :
A corrente no circuito é de 1,5 A. Calcule a Potência elétrica, em watts :