A corrente , em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância , inicialmente carregado com carga , ligado a um resistor de resistência , durante o processo de descarga do capacitor, é dada por . Determine a relação entre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito com um capacitor de capacitância que está inicialmente carregado com uma carga . Esse capacitor está ligado a um resistor de resistência , e queremos descobrir como a corrente inicial está relacionada com a carga inicial . Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente sobre como capacitores descarregam através de resistores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o capacitor começa a descarregar. A corrente que flui no circuito depende da taxa de variação da carga no capacitor. A relação básica entre corrente I(t) = dQ(t)dt e carga Q(t) = Q0 e^(-t / R C) é dada por:
Mas sabemos que a carga no capacitor ao longo do tempo durante a descarga é dada por:
Então, a corrente pode ser derivada dessa expressão.

Passo 3

Vamos derivar I(t) = dQ(t)dt = ddt ( Q0 e^(-t / R C) ) para encontrar I(t) = Q0 cdot ( -1R C ) e^(-t / R C) :
I(t) = -Q0R C e^(-t / R C)
I(t) = Q0R C e^(-t / R C)
Como a corrente está diminuindo, podemos considerar apenas o valor positivo:

Passo 4

Comparando essa expressão com a que foi dada no enunciado:
I(t) = I0 e^(-t / R C)
Perceba que os termos que multiplicam a exponencial devem ser iguais para que as equações correspondam para todo valor de I0 = Q0R C . Portanto:

Resposta

A relação entre e é .

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