A corrente , em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância , inicialmente carregado com carga , ligado a um resistor de resistência , durante o processo de descarga do capacitor, é dada por . Determine a relação entre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito com um capacitor de capacitância que está inicialmente carregado com uma carga . Esse capacitor está ligado a um resistor de resistência , e queremos descobrir como a corrente inicial está relacionada com a carga inicial . Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especificamente sobre como capacitores descarregam através de resistores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o capacitor começa a descarregar. A corrente que flui no circuito depende da taxa de variação da carga no capacitor. A relação básica entre corrente e carga é dada por:
Mas sabemos que a carga no capacitor ao longo do tempo durante a descarga é dada por:
Então, a corrente pode ser derivada dessa expressão.

Passo 3

Vamos derivar para encontrar :
Como a corrente está diminuindo, podemos considerar apenas o valor positivo:

Passo 4

Comparando essa expressão com a que foi dada no enunciado:
Perceba que os termos que multiplicam a exponencial devem ser iguais para que as equações correspondam para todo valor de . Portanto:

Resposta

A relação entre e é .

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Uma partícula carregada, com carga elétrica negativa, de valor , e massa , movese para a direita com relação a um sistema de coordenadas, com velocidade v . Então atravessa uma extensa região com um campo magnético, dirigido para baixo, com intensidade T e começa então a realizar uma órbita circular.
d) Calcule o período e a frequência angular da partícula.
Uma bateria é conectada a uma combinação em série de uma chave, um resistor e um capacitor inicialmente descarregado. A chave é fechada no instante . Descreva, qualitativamente, o que acontece com os itens a seguir e justifique com seus argumentos: a corrente no circuito.
Um circuito é formado por um indutor de indutância ligado em série a um resistor de resistência e conectado, por meio de uma chave, a uma bateria que fornece uma diferença de potencial . No instante , a chave é fechada e a corrente começa a fluir pelo circuito.
(a) Descreva qualitativamente o comportamento da corrente que percorre o circuito.
(b) Faça uma análise qualitativa das energias fornecida pela bateria, armazenada no indutor e dissipada no resistor.
© Obtenha a equação diferencial para a corrente no circuito.
(d) Apresente uma solução para a equação diferencial compatível com as condições iniciais do circuito.
(e) Represente graficamente o comportamento da corrente no circuito em função do tempo .
(f) Obtenha expressões para as tensões no resistor e no indutor.
(g) Calcule a potência fornecida pela bateria, a potência dissipada no resistor e a grandeza onde é a energia armazenada no indutor.
(h) Mostre que a energia se conserva.
(i) Qual é o tempo característico desse circuito?
A corrente , em função do tempo, em um circuito formado por um capacitor de capacitância , inicialmente carregado com carga , ligado a um resistor de resistência , durante o processo de descarga do capacitor, é dada por . Escreva a expressão para a potência dissipada no resistor, .