a) Em um circuito LC ideal, calcule o valor da carga (em função da carga máxima) que existe no capacitor quando a energia total está distribuída 3 / 4 no capacitor e 1 / 4 no indutor. b) Em que instante de tempo esta condição acontecerá, supondo que o capacitor está totalmente carregado no instante t =0 e que L=200 mH e C =30 mu F ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de um circuito LC ideal, que envolve conceitos de energia armazenada em capacitores e indutores. Precisaremos entender como a energia se distribui entre esses componentes e, no segundo item, calcular um instante específico de tempo usando os valores dados de indutância e capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. Em um circuito LC, a energia total é constante e oscila entre o capacitor e o indutor. A energia armazenada no capacitor ( UC) e no indutor ( UL) pode ser dada pelas fórmulas:
UC = Q^22C
UL = 12 L I^2
Onde:
  • Q é a carga no capacitor,
  • C é a capacitância,
  • L é a indutância,
  • I é a corrente no indutor.
Como a energia total ( Utotal) é constante:
Utotal = UC + UL = Qmax^22C
De acordo com o enunciado, a energia está distribuída em 3/4 no capacitor e 1/4 no indutor:
UC = 34 Utotal
Substituindo as expressões de energia:
Q^22C = 34 cdot Qmax^22C
Simplificando:
Q^2 = 34 Qmax^2
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Q = raiz32 Qmax

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o instante de tempo em que a carga no capacitor é Q = raiz32 Qmax. Sabemos que, em um circuito LC, a carga no capacitor varia no tempo de forma oscilatória, dado por:
Q(t) = Qmax cos(omega t)
Onde omega é a frequência angular, dada por:
omega = 1raizLC
Igualando a carga no tempo desejado:
raiz32 Qmax = Qmax cos(omega t)
Dividindo ambos os lados por Qmax:
raiz32 = cos(omega t)
Sabemos que cos(pi/6) = raiz3/2, então:
omega t = pi6
Isolando o tempo t:
t = pi6 omega = pi6 raizLC
Substituindo os valores dados: L = 200 mH = 0,2 H e C = 30 muF = 30 times 10^-6 F:
t = pi6 raiz0,2 times 30 times 10^-6 = pi6 raiz6 times 10^-6 = pi6 times 2,449 times 10^-3 s
Calculando:
t approx 3,14166 times 2,449 times 10^-3 s approx 1,282 times 10^-3 s = 1,282 ms

Resposta

a) A carga no capacitor é Q = raiz32 Qmáxá.
b) Essa condição ocorre aproximadamente 1,28 milissegundos após t = 0.

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