a) Em um circuito LC ideal, calcule o valor da carga (em função da carga máxima) que existe no capacitor quando a energia total está distribuída no capacitor e no indutor. b) Em que instante de tempo esta condição acontecerá, supondo que o capacitor está totalmente carregado no instante e que e C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema trata de um circuito LC ideal, que envolve conceitos de energia armazenada em capacitores e indutores. Precisaremos entender como a energia se distribui entre esses componentes e, no segundo item, calcular um instante específico de tempo usando os valores dados de indutância e capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício. Em um circuito LC, a energia total é constante e oscila entre o capacitor e o indutor. A energia armazenada no capacitor ( ) e no indutor ( ) pode ser dada pelas fórmulas:
Onde:
  • é a carga no capacitor,
  • é a capacitância,
  • é a indutância,
  • é a corrente no indutor.
Como a energia total ( ) é constante:
De acordo com o enunciado, a energia está distribuída em no capacitor e no indutor:
Substituindo as expressões de energia:
Simplificando:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar o instante de tempo em que a carga no capacitor é . Sabemos que, em um circuito LC, a carga no capacitor varia no tempo de forma oscilatória, dado por:
Onde é a frequência angular, dada por:
Igualando a carga no tempo desejado:
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que , então:
Isolando o tempo :
Substituindo os valores dados: e :
Calculando:

Resposta

a) A carga no capacitor é á.
b) Essa condição ocorre aproximadamente 1,28 milissegundos após .

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