Num circuito LC, L=200 mH e C=40 mu F. No instante t=0, a corrente vale 6 mA , a carga no capacitor é igual a 2 mu C e o capacitor está sendo carregado. Calcule: (a) o ângulo de fase inicial varphi ; b) a carga máxima acumulada no capacitor; c ) a corrente máxima e d) a energia total neste circuito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com um circuito LC, que é um circuito que tem um indutor (L) e um capacitor ©. Nesse caso, temos:
  • Indutância,
  • Capacitância,
    No instante inicial ( ), a corrente é , a carga no capacitor é e o capacitor está sendo carregado. Vamos precisar entender um pouco de teoria sobre circuitos LC e oscilações harmônicas para resolver as partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o ângulo de fase inicial ( i(t) = Imáx cos(omega t + varphi) ). Em circuitos LC, a corrente e a carga no capacitor oscilam de forma senoidal, e o ângulo de fase nos ajuda a entender a relação entre essas oscilações no instante inicial.
Sabemos que a corrente q(t) = Qmáx sin(omega t + varphi) e a carga i(0) = Imáx cos(varphi) = 6 , mA no capacitor podem ser descritas por:
q(0) = Qmáx sin(varphi) = 2 , muC á
á
Onde:
  • á é a corrente máxima,
  • á é a carga máxima no capacitor,
  • é a frequência angular, dada por .
No instante :
á
á
Precisamos relacionar essas duas equações para encontrar .

Passo 3

Para encontrar q(0)i(0) = Qmáx sin(varphi)Imáx cos(varphi) = QmáxImáx tan(varphi) , dividimos as duas equações:
tan(varphi) = q(0)i(0) cdot ImáxQmáx áááá
Rearranjando:
tan(varphi) = q(0)i(0) cdot omega Qmáx cdot Imáx áá
Mas sabemos que tan(varphi) = q(0)Imáx / omega áá, então:
tan(varphi) = q(0)Qmáx áá
Simplificando, chegamos a:
varphi = arctan( q(0)Qmáx ) á
Como áá, então:
á
Portanto:
á
Mas precisamos encontrar á.

Passo 4

Vamos calcular a frequência angular omega = 1raizLC = 1raiz0,2 , H times 40 times 10^-6 , F = 1raiz0,2 times 40 times 10^-6 :
omega = 1raiz8 times 10^-6 = 12,828 times 10^-3 approx 353,55 , rad/s

Passo 5

Agora, sabemos que:
Qmáx = raizq(0)^2 + ( I(0)omega )^2 á
Substituindo os valores:
Qmáx = raiz(2 times 10^-6 , C)^2 + ( 6 times 10^-3 , A353,55 , rad/s )^2 á
Qmáx = raiz4 times 10^-12 + ( 1,697 times 10^-5 )^2 á
Qmáx = raiz4 times 10^-12 + 2,88 times 10^-10 approx raiz2,92 times 10^-10 approx 1,709 times 10^-5 , C á

Passo 6

Agora que temos varphi = arctan( 2 times 10^-61,709 times 10^-5 ) = arctan( 0,117 ) approx 6,64^circ á, podemos encontrar o ângulo de fase :

Resposta

a) O ângulo de fase inicial é aproximadamente .

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