Em um circuito L C oscilante, L=25,0 mH e C=7,80 mu F. No instante t=0, a corrente é 9,20 mA, a carga do capacitor é 3,80 mu C e o capacitor está sendo carregado. Determine (a) a energia total do circuito, (b) a carga máxima do capacitor e © a corrente máxima do circuito. (d) Se a carga do capacitor é dada por q=Q cos (omega t+phi), qual é o ângulo de fase phi ? Suponha que os dados são os mesmos, exceto pelo fato de que o capacitor está sendo descarregado no instante t=0. Qual é o valor de phi nesse caso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito oscilante LC com uma indutância e uma capacitância . No instante inicial , a corrente é , a carga no capacitor é e o capacitor está sendo carregado. Vamos precisar de conceitos de energia em circuitos LC, carga máxima, corrente máxima e análise de fase em oscilações harmonicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a energia total do circuito. Em um circuito LC, a energia total é a soma da energia armazenada no capacitor e na indutância. A energia no capacitor é dada por e na indutância por . Como a energia é conservada em um circuito LC sem resistência, a energia total será constante.

Passo 3

Vamos calcular a energia no capacitor no instante UC = q^22C = (3,80 times 10^-6 , C)^22 times 7,80 times 10^-6 , F :
UC = 14,44 times 10^-1215,6 times 10^-6
UC = 0,92 times 10^-6 , J

Passo 4

Agora, a energia na indut��ncia:
UL = L I^22 = 25,0 times 10^-3 , H times (9,20 times 10^-3 , A)^22
UL = 25,0 times 10^-3 times 84,64 times 10^-62
UL = 2,116 times 10^-62
UL = 1,058 times 10^-6 , J

Passo 5

Somando as energias para obter a energia total do circuito:
Utotal = UC + UL = 0,92 times 10^-6 + 1,058 times 10^-6
Utotal = 1,978 times 10^-6 , J

Passo 6

Para encontrar a carga máxima Utotal = Q^22C do capacitor, sabemos que a energia total também pode ser expressa como:
Q = raiz2 Utotal C
Resolvendo para Q = raiz2 times 1,978 times 10^-6 , J times 7,80 times 10^-6 , F :
Q = raiz30,808 times 10^-12
Q = 5,55 times 10^-6 , C
Q = 5,55 , muC

Passo 7

A corrente máxima Utotal = L Imax^22 ocorre quando toda a energia está na indutância:
Imax = raiz2 UtotalL
Resolvendo para Imax = raiz2 times 1,978 times 10^-625,0 times 10^-3 :
Imax = raiz0,15824 times 10^-3
Imax = 0,398 , A
Imax = 398 , mA

Passo 8

Para encontrar o ângulo de fase I = dqdt = -Q omega sin(omega t + phi) na expressão 9,20 times 10^-3 = -5,55 times 10^-6 times omega sin(phi) , usamos as condições iniciais. Sabemos que no instante omega = 1raizLC = 1raiz25,0 times 10^-3 times 7,80 times 10^-6 , a carga é omega = 1raiz0,195 times 10^-6 e a corrente é omega = 10,000441 . A corrente está relacionada à derivada da carga:
omega approx 2269 , rad/s
No instante 9,20 times 10^-3 = -5,55 times 10^-6 times 2269 times sin(phi) :
9,20 times 10^-3 = -0,0126 times sin(phi)
Primeiro, encontramos a frequência angular sin(phi) = -9,20 times 10^-30,0126 :
sin(phi) approx -0,730
phi approx -47,5^circ
Agora, substituindo:

Resposta

(a) A energia total do circuito é aproximadamente .
(b) A carga máxima do capacitor é .
© A corrente máxima do circuito é .
(d) O ângulo de fase quando o capacitor está sendo carregado no instante é aproximadamente . Se o capacitor estivesse sendo descarregado no instante , o valor de seria .

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