Que resistência R deve ser ligada em série com uma indutância L=220 mH e uma capacitância C =12,0 mu F para que a carga máxima do capacitor caia para 99,0 % do valor inicial após 50,0 ciclos? (Suponha que omega^prime approx omega.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito RLC em série, que inclui uma resistência desconhecida , uma indutância e uma capacitância . Queremos encontrar o valor de de forma que a carga máxima no capacitor caia para do valor inicial após 50 ciclos completos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC e a equação que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo em um circuito oscilante amortecido.

Passo 2

Em um circuito RLC série, a carga no capacitor ao longo do tempo pode ser descrita pela equação:
Q(t) = Q0 e^-R2Lt cos(omega' t + phi)
Aqui, é a carga inicial, é a resistência, é a indutância, é a frequência angular amortecida, e é a fase inicial. Como a questão nos diz para assumir que , podemos simplificar nosso cálculo usando apenas .

Passo 3

A frequência angular sem amortecimento ( omega = 1raizLC ) em um circuito RLC é dada por:
omega = 1raiz220 times 10^-3 , H times 12,0 times 10^-6 , F
Vamos calcular omega = 1raiz2,64 times 10^-6 approx 10,001624 approx 615,85 , rad/s com os valores fornecidos:

Passo 4

Sabemos que a carga no capacitor após um certo tempo é t = 50 times T = 50 times 2piomega da carga inicial após 50 ciclos. O tempo total t = 50 times 2pi615,85 approx 0,51 , s para 50 ciclos é:
Substituindo :

Passo 5

Voltando à equação da carga:
Q(t) = Q0 e^-R2Lt = 0,99 Q0
Podemos simplificar:
e^-R2Lt = 0,99
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
-R2Lt = ln(0,99)
Resolvendo para R = -2L ln(0,99)t :

Resposta

Substituindo os valores:
R = -2 times 0,220 , H times ln(0,99)0,51 , s approx 0,86 , Omega

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