Que resistência
deve ser ligada em série com uma indutância
e uma capacitância
para que a carga máxima do capacitor caia para
do valor inicial após 50,0 ciclos? (Suponha que
.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um circuito RLC em série, que inclui uma resistência desconhecida
, uma indutância
e uma capacitância
. Queremos encontrar o valor de
de forma que a carga máxima no capacitor caia para
do valor inicial após 50 ciclos completos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC e a equação que descreve a carga no capacitor ao longo do tempo em um circuito oscilante amortecido.
Passo 2
Em um circuito RLC série, a carga no capacitor ao longo do tempo pode ser descrita pela equação:
Aqui,
é a carga inicial,
é a resistência,
é a indutância,
é a frequência angular amortecida, e
é a fase inicial. Como a questão nos diz para assumir que
, podemos simplificar nosso cálculo usando apenas
.
Passo 3
A frequência angular sem amortecimento (
) em um circuito RLC é dada por:
Vamos calcular
com os valores fornecidos:
Passo 4
Sabemos que a carga no capacitor após um certo tempo é
da carga inicial após 50 ciclos. O tempo total
para 50 ciclos é:
Substituindo
:
Passo 5
Voltando à equação da carga:
Podemos simplificar:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo os valores: