Um circuito R C possui força eletromotriz de 12 sen(t) volts, uma resistência de 100 ohms, uma capacitância de 0,05 farad e nenhuma carga inicial no capacitor. Sendo assim, determine a carga no capacitor no instante t.

Passo 1

Então, temos um circuito do tipo R C com uma força eletromotriz de volts, uma resistência de ohms, uma capacitância de farad e nenhuma carga inicial no capacitor. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo resistores e capacitores para determinar a carga no capacitor em um instante t.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que em um circuito R C, a carga Q(t) no capacitor pode ser encontrada resolvendo a equação diferencial que relaciona a corrente, a resistência e a capacitância. A equação geral é:
Onde:
  • V(t) é a tensão da fonte (nossa força eletromotriz),
  • R é a resistência,
  • I(t) é a corrente no circuito,
  • Q(t) é a carga no capacitor,
  • C é a capacitância.

Passo 3

Sabemos que a corrente I(t) está relacionada com a variação da carga no capacitor:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 4

Além disso, a força eletromotriz é dada por . Substituindo na equação:
Simplificando para :

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo todos os termos por :
Simplificando:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 8

Integramos ambos os lados em relação a t:
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes ou consultamos uma tabela de integrais. O resultado é:
Simplificando:

Passo 10

Substituindo de volta na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando os coeficientes:

Passo 11

Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que no instante , não há carga no capacitor, ou seja, .
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:

Passo 12

Finalmente, substituímos C de volta na equação de Q(t):

Resposta

A carga no capacitor no instante t é aproximadamente:

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