Um circuito
possui força eletromotriz de
volts, uma resistência de 100 ohms, uma capacitância de 0,05 farad e nenhuma carga inicial no capacitor. Sendo assim, determine a carga no capacitor no instante
.
Passo 1
Então, temos um circuito do tipo
com uma força eletromotriz de
volts, uma resistência de
ohms, uma capacitância de
farad e nenhuma carga inicial no capacitor. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos envolvendo resistores e capacitores para determinar a carga no capacitor em um instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que em um circuito
, a carga
no capacitor pode ser encontrada resolvendo a equação diferencial que relaciona a corrente, a resistência e a capacitância. A equação geral é:
Onde:
-
é a tensão da fonte (nossa força eletromotriz), -
é a resistência, -
é a corrente no circuito, -
é a carga no capacitor, -
é a capacitância.
Passo 3
Sabemos que a corrente
está relacionada com a variação da carga no capacitor:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 4
Além disso, a força eletromotriz é dada por
. Substituindo na equação:
Simplificando
para
:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Dividindo todos os termos por
:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes ou consultamos uma tabela de integrais. O resultado é:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 11
Agora, usamos a condição inicial. Sabemos que no instante
, não há carga no capacitor, ou seja,
.
Substituindo
na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 12
Finalmente, substituímos
de volta na equação de
:
Resposta
A carga no capacitor no instante
é aproximadamente:
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.
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.