(2,0 pts) Invertendo a ordem de integração, calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente inverter a ordem de integração numa integral dupla. O conteúdo está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com integração em regiões. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e como calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral dada é
. Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até 3. Vamos desenhar isso no plano
para entender melhor.
Passo 3
Ao inverter a ordem de integração, queremos que a integral seja escrita primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos determinar para cada
quais são os limites de
.
Observando a desigualdade
, podemos resolver para
:
Como
originalmente varia de 0 a 1, e
vai de
a
, os novos limites serão:
Passo 4
Com esses novos limites, a integral invertida fica:
Note que agora a integração em relação a
é mais simples, já que
não depende de
.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Fatorando a constante
:
Fazendo a substituição
, então
ou
: