(2,0 pts) Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente inverter a ordem de integração numa integral dupla. O conteúdo está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com integração em regiões. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e como calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral dada é . Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de até 3. Vamos desenhar isso no plano para entender melhor.

Passo 3

Ao inverter a ordem de integração, queremos que a integral seja escrita primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos determinar para cada quais são os limites de .
Observando a desigualdade , podemos resolver para :
Como originalmente varia de 0 a 1, e vai de a , os novos limites serão:
é
é

Passo 4

Com esses novos limites, a integral invertida fica:
Note que agora a integração em relação a é mais simples, já que não depende de .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Fatorando a constante :
Fazendo a substituição , então ou :

Resposta

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In each of Problems 21 through 23: