(2,0 pts) Invertendo a ordem de integração, calcule a integral integral0^1 integral3 x^3 e^y^2 d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente inverter a ordem de integração numa integral dupla. O conteúdo está relacionado com cálculo integral, mais especificamente com integração em regiões. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e como calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral dada é . Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de até 3. Vamos desenhar isso no plano para entender melhor.

Passo 3

Ao inverter a ordem de integração, queremos que a integral seja escrita primeiro em relação a x <= y3 e depois em relação a x varia de 0 até y3 . Para isso, precisamos determinar para cada y varia de 0 até 3 quais são os limites de .
Observando a desigualdade , podemos resolver para :
Como originalmente varia de 0 a 1, e vai de a , os novos limites serão:
é
é

Passo 4

Com esses novos limites, a integral invertida fica:
integral0^3 integral0^y3 e^y^2 , dx , dy
Note que agora a integração em relação a é mais simples, já que não depende de .

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^y3 e^y^2 , dx = e^y^2 [ x ]0^y3 = e^y^2 cdot y3 :
integral0^3 y3 e^y^2 , dy
Agora, substituímos isso na integral externa:
13 integral0^3 y e^y^2 , dy
Fatorando a constante 13 cdot 12 integral0^9 e^u , du = 16 [ e^u ]0^9 = 16 (e^9 - e^0) = 16 (e^9 - 1) :
Fazendo a substituição , então ou :

Resposta

e^9 - 16

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