(2,0 pts) Calcule a integral
integral duplaB e^y / x d A
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas y=x e y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla
integral duplaB e^y / x , dA
onde é a região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre uma região delimitada. Para resolver isso, vamos precisar configurar os limites de integração e talvez fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região x = x^3 implies x^3 - x = 0 implies x(x^2 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = pm1 . No primeiro quadrante, as curvas e se interceptam quando e , porque:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Para cada integralx=0^1 integraly=x^3^x e^y/x , dy , dx entre 0 e 1, varia de a . Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar u = yx implies du = dyx implies dy = x , du em relação a , mantendo constante. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Quando , e quando , .

Passo 5

Substituindo na integral interna, temos:
integralu=x^2^1 e^u cdot x , du = x integralx^2^1 e^u , du = x [ e^u ]x^2^1 = x ( e^1 - e^x^2 )
Simplificando:
x (e - e^x^2)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^1 x (e - e^x^2) , dx = e integral0^1 x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 7

Primeira parte:
e integral0^1 x , dx = e [ x^22 ]0^1 = e ( 12 - 0 ) = e2

Passo 8

Segunda parte:
integral0^1 x e^x^2 , dx
Aqui, fazemos outra substituição:
w = x^2 implies dw = 2x , dx implies dw2 = x , dx
Então, a integral fica:
12 integral0^1 e^w , dw = 12 [ e^w ]0^1 = 12 (e - 1)

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes:
e2 - e - 12 = e - e + 12 = 12

Resposta

A integral dupla é igual a .

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