(2,0 pts) Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla
onde é a região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas e . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre uma região delimitada. Para resolver isso, vamos precisar configurar os limites de integração e talvez fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, as curvas e se interceptam quando e , porque:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Para cada entre 0 e 1, varia de a . Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar em relação a , mantendo constante. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Quando , e quando , .

Passo 5

Substituindo na integral interna, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 7

Primeira parte:

Passo 8

Segunda parte:
Aqui, fazemos outra substituição:
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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(2,0 pts) Invertendo a ordem de integração, calcule a integral .
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In each of Problems 21 through 23:
In each of Problems 13 through 20 find the solution of the given initial value problem,