(2,0 pts) Calcule a integral
onde B é a região do primeiro quadrante do plano delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa calcular a integral dupla
onde
é a região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre uma região delimitada. Para resolver isso, vamos precisar configurar os limites de integração e talvez fazer uma substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro quadrante, as curvas
e
se interceptam quando
e
, porque:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
e
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, ou seja, integrar
em relação a
, mantendo
constante. Para simplificar, fazemos uma substituição:
Quando
,
e quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral interna, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 7
Primeira parte:
Passo 8
Segunda parte:
Aqui, fazemos outra substituição:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, juntamos as duas partes:
Resposta
A integral dupla é igual a
.