O problema de valor inicial
y' - 2/x * y = 0, y(0) = 0
tem duas soluções: y(x)=0 e y(x) = x^2. Por que este resultado não contradiz o teorema de Existência e Unicidade das soluções? Explique detalhamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou fala sobre uma equação diferencial de valor inicial:
E diz que há duas soluções: e . A gente precisa entender por que isso não está em desacordo com o Teorema de Existência e Unicidade das soluções. Para isso, vamos precisar conhecer esse teorema e ver quais são as condições para garantir que a solução é única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema basicamente nos diz que, para certas equações diferenciais, existe uma única solução que passa por um ponto específico. Mais precisamente, para uma equação diferencial da forma:
Se as funções e forem contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial , então existe uma e apenas uma solução que passa por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa equação:
Aqui, temos e . Para o teorema garantir unicidade, e precisam ser contínuas no intervalo onde estamos analisando a solução, que inclui o ponto inicial .

Passo 4

Olha só, não é contínua em porque temos uma divisão por zero ali. Isso significa que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas no ponto inicial . Quando as condições do teorema não são atendidas, a unicidade da solução não é garantida.

Passo 5

Por causa disso, é possível que existam múltiplas soluções que passam por , como é o caso das soluções e . Isso não contraria o teorema porque as condições necessárias para garantir a unicidade não foram cumpridas.

Resposta

Então, a existência de duas soluções para o problema de valor inicial não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições do teorema não são atendidas no ponto , já que não é contínua nesse ponto. Assim, a unicidade da solução não é garantida, permitindo múltiplas soluções que satisfazem as condições dadas.

Exercícios relacionados