O problema de valor inicial
tem duas soluções:
e
. Por que este resultado não contradiz o teorema de Existência e Unicidade das soluções? Explique detalhamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou fala sobre uma equação diferencial de valor inicial:
E diz que há duas soluções:
e
. A gente precisa entender por que isso não está em desacordo com o Teorema de Existência e Unicidade das soluções. Para isso, vamos precisar conhecer esse teorema e ver quais são as condições para garantir que a solução é única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema basicamente nos diz que, para certas equações diferenciais, existe uma única solução que passa por um ponto específico. Mais precisamente, para uma equação diferencial da forma:
Se as funções
e
forem contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial
, então existe uma e apenas uma solução que passa por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa equação:
Aqui, temos
e
. Para o teorema garantir unicidade,
e
precisam ser contínuas no intervalo onde estamos analisando a solução, que inclui o ponto inicial
.
Passo 4
Olha só,
não é contínua em
porque temos uma divisão por zero ali. Isso significa que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas no ponto inicial
. Quando as condições do teorema não são atendidas, a unicidade da solução não é garantida.
Passo 5
Por causa disso, é possível que existam múltiplas soluções que passam por
, como é o caso das soluções
e
. Isso não contraria o teorema porque as condições necessárias para garantir a unicidade não foram cumpridas.
Resposta
Então, a existência de duas soluções para o problema de valor inicial não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade porque as condições do teorema não são atendidas no ponto
, já que
não é contínua nesse ponto. Assim, a unicidade da solução não é garantida, permitindo múltiplas soluções que satisfazem as condições dadas.