Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência
, um capacitor de capacitância
e um gerador que gera uma diferença de potencial
ligados em série. A carga
no capacitor satisfaz a equação diferencial:
Nesta equação a incógnita é a função
. Assim,
é a variável dependente e t é a variável independente que regem o fenômeno.
Determine uma expressão para
considerando que
e
, atribuindo valores para
e
em suas respectivas unidades.
Determine uma expressão para
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos um circuito RC com um resistor de resistência
, um capacitor de capacitância
e um gerador que fornece uma diferença de potencial
ligado em série. A carga no capacitor,
, satisfaz a equação diferencial:
Neste caso, e a condição inicial é
.
Conteúdos necessários:
- Equações diferenciais de primeira ordem.
- Métodos para resolver equações lineares, como o fator integrante.
- Aplicação de condições iniciais para determinar constantes de integração.
Valores atribuídos:
Para simplificar, vamos atribuir:
Para simplificar, vamos atribuir:
Passo 2
Com os valores atribuídos, nossa equação diferencial fica:
Simplificando:
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
onde
e .
Passo 3.1: Encontrar o fator integrante (
):
Passo 3.2: Multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 3.3: Reconhecer que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 4
Integrar ambos os lados para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4.1: Resolver a integral .
Usando integração por partes ou reconhecendo a forma padrão, sabemos que:
Então:
Passo 4.2: Isolar
:
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabendo que e
:
Resposta
A expressão para
é: