Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potencial V(t) ligados em série. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial:
R dQ/dt + 1/C Q = V(t)
Nesta equação a incógnita é a função Q(t). Assim, Q é a variável dependente e t é a variável independente que regem o fenômeno.
Determine uma expressão para Q(t) considerando que V(t) = sen(R t) e Q(0) = 1, atribuindo valores para R e C em suas respectivas unidades.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos um circuito RC com um resistor de resistência , um capacitor de capacitância e um gerador que fornece uma diferença de potencial ligado em série. A carga no capacitor, , satisfaz a equação diferencial:
Neste caso, e a condição inicial é .
Conteúdos necessários:
  • Equações diferenciais de primeira ordem.
  • Métodos para resolver equações lineares, como o fator integrante.
  • Aplicação de condições iniciais para determinar constantes de integração.
Valores atribuídos:
Para simplificar, vamos atribuir:

Passo 2

Com os valores atribuídos, nossa equação diferencial fica:
Simplificando:

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
onde e .
Passo 3.1: Encontrar o fator integrante ( ):
Passo 3.2: Multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Passo 3.3: Reconhecer que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 4

Integrar ambos os lados para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.
Passo 4.1: Resolver a integral .
Usando integração por partes ou reconhecendo a forma padrão, sabemos que:
Então:
Passo 4.2: Isolar :

Passo 5

Aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Sabendo que e :

Resposta

A expressão para é:

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