Determine si cada una de las funciones siguientes es una solución de la ecuación de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a função
é uma solução da equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em muitos lugares, tipo na física e na engenharia, e basicamente diz que a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a
e
é igual a zero. Ou seja:
Vamos precisar calcular essas derivadas parciais da função dada e ver se a equação se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como constante:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente a primeira derivada em relação a
para encontrar a segunda derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos derivar novamente a primeira derivada em relação a
para encontrar a segunda derivada:
Passo 6
Com as segundas derivadas em mãos, vamos somá-las conforme a equação de Laplace:
Resposta
Como
não é igual a zero, a função
não é uma solução da equação de Laplace.