Determine si cada una de las funciones siguientes es una solución de la ecuación de Laplace
u = x^3 + 3 x y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir se a função é uma solução da equação de Laplace. A equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em muitos lugares, tipo na física e na engenharia, e basicamente diz que a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a e é igual a zero. Ou seja:
Vamos precisar calcular essas derivadas parciais da função dada e ver se a equação se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . Isso significa que vamos derivar considerando como constante:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente a primeira derivada em relação a para encontrar a segunda derivada:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente a primeira derivada em relação a para encontrar a segunda derivada:

Passo 6

Com as segundas derivadas em mãos, vamos somá-las conforme a equação de Laplace:

Resposta

Como não é igual a zero, a função não é uma solução da equação de Laplace.

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