Resolva o PVI:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de
para tornar a equação exata.
Passo 3
Vamos buscar um fator integrante
tal que, ao multiplicarmos a equação original por
, ela se torne exata. A condição para isso é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Isso resulta em uma equação diferencial simples para
:
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Podemos ignorar a constante
pois qualquer múltiplo serve como fator integrante. Então, temos:
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Sabemos que:
Então:
Isso implica que:
Integrando:
Passo 9
Substituindo
na função potencial
:
Essa é a solução geral da equação diferencial. Para encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
, substituímos
e
na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial
é dada por: