Resolva o PVI: (2/x^3 + 2/x + 4y) dx + (2x + 2) dy = 0 ; y(2) = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de equações exatas e, se necessário, encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de para tornar a equação exata.

Passo 3

Vamos buscar um fator integrante tal que, ao multiplicarmos a equação original por , ela se torne exata. A condição para isso é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Isso resulta em uma equação diferencial simples para :

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Podemos ignorar a constante pois qualquer múltiplo serve como fator integrante. Então, temos:

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 6

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Simplificando os termos dentro da integral:
Então:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Sabemos que:
Então:
Isso implica que:
Integrando:

Passo 9

Substituindo na função potencial :
Essa é a solução geral da equação diferencial. Para encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial , substituímos e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é dada por:

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