A Função Erro dada por
erf(x)=2pi integral0^x e^-t^2 d t
é uma importante função utilizada em estatística, probabilidade e engenharia. Mostre que
integrala^b e^-t^2 d t=2raizpi[erf(b)-erf(a)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de de até pode ser expressa usando a Função Erro, que é uma função muito útil em estatística, probabilidade e engenharia. Para isso, vamos precisar entender o que é a Função Erro e como ela se relaciona com integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Função Erro, que é dada por:
erf(x) = 2raizpi integral0^x e^-t^2 dt
Essa função basicamente mede a probabilidade acumulada em uma distribuição normal padrão até o ponto .

Passo 3

Queremos expressar a integral de integrala^b e^-t^2 dt de até . Vamos escrever isso matematicamente:

Passo 4

Para relacionar essa integral com a Função Erro, vamos lembrar que a Função Erro vai de 0 até integrala^b e^-t^2 dt = integral0^b e^-t^2 dt - integral0^a e^-t^2 dt . Mas nossa integral vai de até . Para resolver isso, vamos usar a propriedade de que a integral de até é igual à integral de 0 até menos a integral de 0 até :

Passo 5

Agora, vamos substituir cada uma dessas integrais pela definição da Função Erro. Sabemos que:
integral0^x e^-t^2 dt = raizpi2 erf(x)
Então, aplicando isso nas duas integrais:
integrala^b e^-t^2 dt = raizpi2 erf(b) - raizpi2 erf(a)

Passo 6

Vamos fatorar o termo comum integrala^b e^-t^2 dt = raizpi2 ( erf(b) - erf(a) ) :

Passo 7

Agora, para isolar a integral, dividimos ambos os lados por integrala^b e^-t^2 dt = 2raizpi ( erf(b) - erf(a) ) , o que é equivalente a multiplicar por :

Resposta

Então, mostramos que:
integrala^b e^-t^2 dt = 2raizpi ( erf(b) - erf(a) )

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