A Função Erro dada por
é uma importante função utilizada em estatística, probabilidade e engenharia. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a integral de
de
até
pode ser expressa usando a Função Erro, que é uma função muito útil em estatística, probabilidade e engenharia. Para isso, vamos precisar entender o que é a Função Erro e como ela se relaciona com integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Função Erro, que é dada por:
Essa função basicamente mede a probabilidade acumulada em uma distribuição normal padrão até o ponto
.
Passo 3
Queremos expressar a integral de
de
até
. Vamos escrever isso matematicamente:
Passo 4
Para relacionar essa integral com a Função Erro, vamos lembrar que a Função Erro vai de 0 até
. Mas nossa integral vai de
até
. Para resolver isso, vamos usar a propriedade de que a integral de
até
é igual à integral de 0 até
menos a integral de 0 até
:
Passo 5
Agora, vamos substituir cada uma dessas integrais pela definição da Função Erro. Sabemos que:
Então, aplicando isso nas duas integrais:
Passo 6
Vamos fatorar o termo comum
:
Passo 7
Agora, para isolar a integral, dividimos ambos os lados por
, o que é equivalente a multiplicar por
:
Resposta
Então, mostramos que: