Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora: f: R -> R+dada por f(x) = 1 - x^2;

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para classificar a função definida por como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção, que fazem parte do estudo de funções na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se cada elemento distinto do domínio (no caso, todos os números reais) mapeia para elementos distintos do contradomínio (os números reais positivos). Em outras palavras, se então .
Vamos testar isso na nossa função . Observe que e . Aqui, diferentes valores de (1 e -1) resultaram no mesmo valor de , que é 0. Isso mostra que a função não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é alcançado por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para cada em , existe um em tal que .
Nossa função tem como imagem os valores de que satisfazem , porque é sempre positivo ou zero, então . Por outro lado, inclui todos os números reais positivos até o infinito. Isso significa que, embora possamos alcançar valores de até 1, não conseguimos alcançar valores maiores que 1 usando essa função. Portanto, a função não é sobrejetora.

Passo 4

Como a função não é injetora nem sobrejetora, concluímos que ela não é bijetora. Uma função bijetora precisaria ser tanto injetora quanto sobrejetora, o que não é o caso aqui.

Resposta

A função não é injetora nem sobrejetora.

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