Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para classificar a função
definida por
como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de injeção e sobrejeção, que fazem parte do estudo de funções na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se cada elemento distinto do domínio (no caso, todos os números reais) mapeia para elementos distintos do contradomínio (os números reais positivos). Em outras palavras, se
então
.
Vamos testar isso na nossa função
. Observe que
e
. Aqui, diferentes valores de
(1 e -1) resultaram no mesmo valor de
, que é 0. Isso mostra que a função não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio é alcançado por pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, para cada
em
, existe um
em
tal que
.
Nossa função
tem como imagem os valores de
que satisfazem
, porque
é sempre positivo ou zero, então
. Por outro lado,
inclui todos os números reais positivos até o infinito. Isso significa que, embora possamos alcançar valores de
até 1, não conseguimos alcançar valores maiores que 1 usando essa função. Portanto, a função não é sobrejetora.
Passo 4
Como a função não é injetora nem sobrejetora, concluímos que ela não é bijetora. Uma função bijetora precisaria ser tanto injetora quanto sobrejetora, o que não é o caso aqui.
Resposta
A função
não é injetora nem sobrejetora.