Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito, pode-se mostrar que a carga do capacitor
, em função do tempo
, satisfaz a equação:
Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo período de tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um circuito com resistência e capacitor, que está inicialmente sem carga, e liga isso a uma bateria que mantém uma força eletromotriz constante. A questão nos dá uma equação que relaciona a carga no capacitor
em função do tempo
:
Vamos resolver essa equação para encontrar a constante arbitrária e depois descobrir qual será a carga do capacitor depois de muito tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. Ela é uma equação diferencial, que relaciona a taxa de variação da carga
com a carga atual
. Para resolver, vamos separar as variáveis
e
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Isso é uma forma da equação diferencial que podemos resolver usando métodos de integração.
Passo 4
Agora, separamos as variáveis
e
:
Assim, temos tudo em termos de
de um lado e
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 6
Calculando as integrais:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Passo 8
Agora, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar
de uma nova constante
:
Passo 9
Isolando
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que inicialmente o capacitor está descarregado, ou seja,
:
Passo 11
Substituindo
na solução geral:
Passo 12
Por fim, para encontrar a carga do capacitor após um longo período de tempo, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A constante arbitrária é
e, após um longo período de tempo, a carga do capacitor será
unidades de carga.
Exercícios relacionados
Responda os itens com respeito à função
e à integral
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com e
, para determinar
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com
Suponha que
e
e que existam. Se
e
, então
Para calcular a integral
siga os seguintes passos.
Determine constantes e
, tais que
.
Determine constantes
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
;
(g) ,
.
(g)