Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito, pode-se mostrar que a carga do capacitor 0 <= Q(t) < 10, em função do tempo t ≥ 0, satisfaz a equação:
Q'(t)/(10-Q(t))=2
Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo período de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um circuito com resistência e capacitor, que está inicialmente sem carga, e liga isso a uma bateria que mantém uma força eletromotriz constante. A questão nos dá uma equação que relaciona a carga no capacitor em função do tempo :
Vamos resolver essa equação para encontrar a constante arbitrária e depois descobrir qual será a carga do capacitor depois de muito tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. Ela é uma equação diferencial, que relaciona a taxa de variação da carga com a carga atual . Para resolver, vamos separar as variáveis e .

Passo 3

Vamos reescrever a equação para facilitar a separação:
Isso é uma forma da equação diferencial que podemos resolver usando métodos de integração.

Passo 4

Agora, separamos as variáveis e :
Assim, temos tudo em termos de de um lado e do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:

Passo 6

Calculando as integrais:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 8

Agora, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos chamar de uma nova constante :

Passo 9

Isolando :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que inicialmente o capacitor está descarregado, ou seja, :

Passo 11

Substituindo na solução geral:

Passo 12

Por fim, para encontrar a carga do capacitor após um longo período de tempo, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A constante arbitrária é e, após um longo período de tempo, a carga do capacitor será unidades de carga.

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