Responda os itens com respeito à função
e à integral
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com
e
, para determinar
.
Utilize a fórmula de integração por partes, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente a integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher
e
. Com essas escolhas, vamos derivar
para encontrar
e integrar
para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Como
, derivando em relação a
, temos:
Isso porque a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos integrar
para encontrar
. A integral de
é:
Então,
.
Passo 4
Com
,
,
e
determinados, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que a integral
aparece novamente no lado direito da equação. Isso significa que:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 6
Somando
dos dois lados para isolar:
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Suponha que
e
e que existam. Se
e
, então
Seja
uma função. Diz-se que
é uma função convexa no intervalo
se
, ou seja, o gráfico de
no intervalo
está abaixo do segmento de reta que liga os pontos
e
. Se
é derivável, mostre que são equivalentes:
é convexa;
Um circuito com resistência e capacitor, inicialmente descarregado, é ligado a uma bateria de força eletromotriz constante. Para certos valores nominais dos componentes do circuito, pode-se mostrar que a carga do capacitor
, em função do tempo
, satisfaz a equação:
Sabendo que o capacitor está inicialmente descarregado, determine a constante arbitrária do item acima. Em seguida, calcule a carga do capacitor após um longo período de tempo.
Para calcular a integral
siga os seguintes passos.
Determine constantes e
, tais que
.
Determine constantes