Responda os itens com respeito à função f(x)=sen(x) cos (x) e à integral I=integral f(x) d x.
Utilize a fórmula de integração por partes, com u=sen(x) e d v=cos (x) d x, para determinar I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A matéria aqui envolve cálculo integral, especificamente a integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher e . Com essas escolhas, vamos derivar para encontrar e integrar para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar du = cos(x) , dx . Como , derivando em relação a , temos:
Isso porque a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos integrar v = integral cos(x) , dx = sin(x) para encontrar . A integral de é:
Então, .

Passo 4

Com integral u , dv = u cdot v - integral v , du , I = sin(x) cdot sin(x) - integral sin(x) cdot cos(x) , dx , I = sin^2(x) - integral sin(x) cos(x) , dx e determinados, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que a integral I = sin^2(x) - I aparece novamente no lado direito da equação. Isso significa que:
Agora, vamos resolver para .

Passo 6

Somando I + I = sin^2(x) dos dois lados para isolar:
2I = sin^2(x)
I = sin^2(x)2 + C
Dividindo ambos os lados por 2:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral I = sin^2(x)2 + C é igual a:

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