Suponha que f^prime(x0) neq 0 e g^prime(x0) neq 0 e que existam. Se f(x0)=0 e g(x0)=0, então
lim x x0 f(x)g(x)=f^prime(x0)g^prime(x0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções, e , que são diferenciáveis num ponto específico . Sabemos que ambas as funções valem zero nesse ponto, ou seja, e . Além disso, as derivadas dessas funções nesse ponto, e , não são iguais a zero. O que a questão quer é mostrar que o limite da razão quando se aproxima de é igual à razão das derivadas dessas funções nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema de L’Hôpital, que é uma ferramenta muito útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma indeterminada. Quando tentamos calcular um limite e tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, como no caso de , não conseguimos determinar o valor do limite diretamente. Nesse cenário, o teorema de L’Hôpital entra em ação. Ele nos diz que, se as condições forem satisfeitas, o limite da razão das funções pode ser encontrado calculando o limite da razão de suas derivadas.

Passo 3

No nosso caso, como e , ao calcularmos , estamos lidando com uma forma , que é indeterminada. Além disso, sabemos que e , o que cumpre uma das condições necessárias para aplicar o teorema de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando o teorema de L’Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite da nova razão. Ou seja:
limx to x0 f(x)g(x) = limx to x0 f'(x)g'(x)

Passo 5

Agora, como sabemos que as derivadas limx to x0 f'(x)g'(x) = f'(x0)g'(x0) e são contínuas no ponto (já que são diferenciáveis ali), podemos simplesmente substituir por no limite das derivadas:

Resposta

Portanto, concluímos que:
lim x x0 f(x)g(x)=f^prime(x0)g^prime(x0)

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f: [a, b] -> R é convexa;
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