Suponha que
e
e que existam. Se
e
, então
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem duas funções,
e
, que são diferenciáveis num ponto específico
. Sabemos que ambas as funções valem zero nesse ponto, ou seja,
e
. Além disso, as derivadas dessas funções nesse ponto,
e
, não são iguais a zero. O que a questão quer é mostrar que o limite da razão
quando
se aproxima de
é igual à razão das derivadas dessas funções nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar o teorema de L’Hôpital, que é uma ferramenta muito útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma forma indeterminada. Quando tentamos calcular um limite e tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, como no caso de
, não conseguimos determinar o valor do limite diretamente. Nesse cenário, o teorema de L’Hôpital entra em ação. Ele nos diz que, se as condições forem satisfeitas, o limite da razão das funções pode ser encontrado calculando o limite da razão de suas derivadas.
Passo 3
No nosso caso, como
e
, ao calcularmos
, estamos lidando com uma forma
, que é indeterminada. Além disso, sabemos que
e
, o que cumpre uma das condições necessárias para aplicar o teorema de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando o teorema de L’Hôpital, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite da nova razão. Ou seja:
Passo 5
Agora, como sabemos que as derivadas
e
são contínuas no ponto
(já que são diferenciáveis ali), podemos simplesmente substituir
por
no limite das derivadas:
Resposta
Portanto, concluímos que: