Um circuito RLC como o da Fig. 31-7 tem . (a) Para que frequência angular d a amplitude da corrente é máxima, como nas curvas de ressonância da Fig. 31-16? (b) Qual é o valor máximo? © Para que frequência angular a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (d) Para que frequência angular a amplitude da
corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de ( - )/ , a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC juntos! O enunciado fala sobre um circuito com resistor ®, indutor (L) e capacitor ©. A gente precisa encontrar algumas coisas relacionadas à frequência angular que fazem a corrente ter certos comportamentos, como máxima amplitude na ressonância. Para resolver, vamos usar conceitos de ressonância em circuitos RLC e as fórmulas que descrevem a amplitude da corrente nesse tipo de circuito.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a frequência angular que maximiza a amplitude da corrente.
Primeiro, sabemos que a frequência na qual a corrente atinge sua amplitude máxima é chamada de frequência de ressonância. Em um circuito RLC, a frequência de ressonância é dada por:
Onde:
  • é a indutância,
  • é a capacitância.
Vamos calcular com os valores fornecidos:
  • ,
  • .
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Então,

Passo 3

Parte (b): Determinar o valor máximo da amplitude da corrente.
A amplitude máxima da corrente ocorre na frequência de ressonância . A amplitude é dada por:
Onde:
  • é a voltagem da fonte,
  • é a resistência.
Usando os valores dados:
  • ,
  • .
Substituindo:

Passo 4

Parte ©: Encontrar a frequência angular onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para .
Queremos que . A expressão para a amplitude da corrente em um circuito RLC é:
Queremos:
Simplificando:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo :
Tirando a raiz:
Substituindo os valores:
Esse é uma equação quadrática em . Resolveremos numericamente:
Vamos chamar .
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então,

Passo 5

Parte (d): Encontrar a frequência angular onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para .
De forma similar à parte ©, mas agora para :
Usamos a mesma equação:
Substituindo os valores:
Configurando a equação quadrática:
Resolvendo:
Discriminante:
Então,

Passo 6

Parte (e): Calcular a largura de linha relativa .
Já temos e , e .
Calculando a diferença:
Como a largura é um valor positivo:
Então, a largura relativa é:

Resposta

(a) A frequência angular que maximiza a amplitude da corrente é aproximadamente .
(b) O valor máximo da amplitude da corrente é .
© A frequência angular onde a amplitude é metade do máximo para é aproximadamente .
(d) A frequência angular onde a amplitude é metade do máximo para é aproximadamente .
(e) A largura de linha relativa à meia altura da curva de ressonância desse circuito é aproximadamente .

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Respostas:

a)