Um circuito RLC como o da Fig. 31-7 tem R=5,00 Omega, C=20,0 mu F, L=1,00 He=30,0 V. (a) Para que frequência angular omega d a amplitude da corrente é máxima, como nas curvas de ressonância da Fig. 31-16? (b) Qual é o valor máximo? © Para que frequência angular omega d 1 a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (d) Para que frequência angular omega d 2>omega d a amplitude da
corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de ( omega d 2 - omega d 1 )/ omega, a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC juntos! O enunciado fala sobre um circuito com resistor ®, indutor (L) e capacitor ©. A gente precisa encontrar algumas coisas relacionadas à frequência angular que fazem a corrente ter certos comportamentos, como máxima amplitude na ressonância. Para resolver, vamos usar conceitos de ressonância em circuitos RLC e as fórmulas que descrevem a amplitude da corrente nesse tipo de circuito.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a frequência angular omega0 = 1raizL C que maximiza a amplitude da corrente.
Primeiro, sabemos que a frequência na qual a corrente atinge sua amplitude máxima é chamada de frequência de ressonância. Em um circuito RLC, a frequência de ressonância omega0 = 1raiz1,00 times 20,0 times 10^-6 = 1raiz20 times 10^-6 é dada por:
raiz20 times 10^-6 = raiz2 times 10^-5 approx 4,4721 times 10^-3 , rad/s
Onde:
  • omega0 approx 14,4721 times 10^-3 approx 223,6 , rad/s é a indutância,
  • é a capacitância.
Vamos calcular com os valores fornecidos:
  • ,
  • .
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Então,

Passo 3

Parte (b): Determinar o valor máximo da amplitude da corrente.
A amplitude máxima da corrente ocorre na frequência de ressonância Imax = VR . A amplitude Imax = 30,05,00 = 6,00 , A é dada por:
Onde:
  • é a voltagem da fonte,
  • é a resistência.
Usando os valores dados:
  • ,
  • .
Substituindo:

Passo 4

Parte ©: Encontrar a frequência angular I(omega) = VraizR^2 + (omega L - 1omega C)^2 onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para VraizR^2 + (omegad1 L - 1omegad1 C)^2 = Imax2 = V2 R .
Queremos que raizR^2 + (omegad1 L - 1omegad1 C)^2 = 2 R . A expressão para a amplitude da corrente em um circuito RLC é:
R^2 + (omegad1 L - 1omegad1 C)^2 = 4 R^2
Queremos:
(omegad1 L - 1omegad1 C)^2 = 3 R^2
Simplificando:
omegad1 L - 1omegad1 C = raiz3 R
Elevando ao quadrado ambos os lados:
omegad1 times 1,00 - 1omegad1 times 20 times 10^-6 = raiz3 times 5,00
Subtraindo omegad1 - 120 times 10^-6 omegad1 = 5 raiz3 :
x - 120 times 10^-6 x = 5 raiz3 approx 8,660
Tirando a raiz:
x^2 - 120 times 10^-6 = 8,660 x
Substituindo os valores:
x^2 - 8,660 x - 50.000 = 0
x = 8,660 pm raiz(8,660)^2 + 4 times 1 times 50.0002
Esse é uma equação quadrática em (8,660)^2 + 200.000 approx 75 + 200.000 = 200.075 . Resolveremos numericamente:
Vamos chamar raiz200.075 approx 447,3 .
x = 8,660 + 447,32 approx 455,962 approx 227,98 , rad/s
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então,

Passo 5

Parte (d): Encontrar a frequência angular omegad2 L - 1omegad2 C = -raiz3 R onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para omegad2 - 120 times 10^-6 omegad2 = -5 raiz3 approx -8,660 .
De forma similar à parte ©, mas agora para omegad2^2 + 8,660 omegad2 - 50.000 = 0 :
Usamos a mesma equação:
x^2 + 8,660 x - 50.000 = 0
Substituindo os valores:
x = -8,660 pm raiz(8,660)^2 + 200.0002
Configurando a equação quadrática:
(8,660)^2 + 200.000 approx 75 + 200.000 = 200.075
Resolvendo:
raiz200.075 approx 447,3
x = -8,660 + 447,32 approx 438,642 approx 219,32 , rad/s
Discriminante:
Então,

Passo 6

Parte (e): Calcular a largura de linha relativa omegad2 - omegad1 = 219,32 - 227,98 = -8,66 , rad/s .
Já temos |omegad2 - omegad1| = 8,66 , rad/s e 8,66223,6 approx 0,0387 , ou , 3,87% , e .
Calculando a diferença:
Como a largura é um valor positivo:
Então, a largura relativa é:

Resposta

(a) A frequência angular que maximiza a amplitude da corrente é aproximadamente .
(b) O valor máximo da amplitude da corrente é .
© A frequência angular onde a amplitude é metade do máximo para é aproximadamente .
(d) A frequência angular onde a amplitude é metade do máximo para é aproximadamente .
(e) A largura de linha relativa à meia altura da curva de ressonância desse circuito é aproximadamente .

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