Um circuito RLC como o da Fig. 31-7 tem
. (a) Para que frequência angular
d a amplitude da corrente é máxima, como nas curvas de ressonância da Fig. 31-16? (b) Qual é o valor máximo? © Para que frequência angular
a amplitude da corrente tem metade do valor máximo? (d) Para que frequência angular
a amplitude da
corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de (
-
)/
, a largura de linha relativa a meia altura da curva de ressonância desse circuito?
corrente tem metade do valor máximo? (e) Qual é o valor de (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC juntos! O enunciado fala sobre um circuito com resistor ®, indutor (L) e capacitor ©. A gente precisa encontrar algumas coisas relacionadas à frequência angular
que fazem a corrente ter certos comportamentos, como máxima amplitude na ressonância. Para resolver, vamos usar conceitos de ressonância em circuitos RLC e as fórmulas que descrevem a amplitude da corrente nesse tipo de circuito.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a frequência angular
que maximiza a amplitude da corrente.
Primeiro, sabemos que a frequência na qual a corrente atinge sua amplitude máxima é chamada de frequência de ressonância. Em um circuito RLC, a frequência de ressonância
é dada por:
Onde:
-
é a indutância, -
é a capacitância.
Vamos calcular
com os valores fornecidos:
-
, -
.
Substituindo na fórmula:
Calculando:
Então,
Passo 3
Parte (b): Determinar o valor máximo da amplitude da corrente.
A amplitude máxima da corrente ocorre na frequência de ressonância
. A amplitude
é dada por:
Onde:
-
é a voltagem da fonte, -
é a resistência.
Usando os valores dados:
-
, -
.
Substituindo:
Passo 4
Parte ©: Encontrar a frequência angular
onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para
.
Queremos que
. A expressão para a amplitude da corrente em um circuito RLC é:
Queremos:
Simplificando:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo
:
Tirando a raiz:
Substituindo os valores:
Esse é uma equação quadrática em
. Resolveremos numericamente:
Vamos chamar
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então,
Passo 5
Parte (d): Encontrar a frequência angular
onde a amplitude da corrente é metade do valor máximo para
.
De forma similar à parte ©, mas agora para
:
Usamos a mesma equação:
Substituindo os valores:
Configurando a equação quadrática:
Resolvendo:
Discriminante:
Então,
Passo 6
Parte (e): Calcular a largura de linha relativa
.
Já temos
e
, e
.
Calculando a diferença:
Como a largura é um valor positivo:
Então, a largura relativa é:
Resposta
(a) A frequência angular que maximiza a amplitude da corrente é aproximadamente
.
(b) O valor máximo da amplitude da corrente é
.
© A frequência angular
onde a amplitude é metade do máximo para
é aproximadamente
.
(d) A frequência angular
onde a amplitude é metade do máximo para
é aproximadamente
.
(e) A largura de linha relativa à meia altura da curva de ressonância desse circuito é aproximadamente
.