Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme . No instante o próton possui velocidade dada por e a força magnética que age sobre o próton é . Nesse instante, determine:
a) a componente do vetor velocidade;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton se movendo em um campo magnético uniforme . No instante , a velocidade do próton é e a força magnética que age sobre ele é . A gente precisa encontrar a componente da velocidade, . Para isso, vamos usar a teoria da força magnética sobre uma carga em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão para a força magnética que age sobre uma partícula carregada. A fórmula é:
Onde:
é a carga da partícula,
é a velocidade da partícula,
é o campo magnético,
representa o produto vetorial entre os vetores.
Como estamos procurando , vamos isolar essa componente na equação.
Passo 3
Sabemos que a carga do próton é positiva e igual a . Vamos escrever os vetores em componentes:
Conversão de km/s para m/s: .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial . Primeiro, substituímos os valores:
Calculando o determinante:
v times B = i(vy times 10^3 times 40 - 2000 times (-20)) - j(vx times 10^3 times 40 - 2000 times 11.5) + k(vx times 10^3 times (-20) - vy times 10^3 times 11.5)
Passo 5
Simplificando os componentes:
Componente i:
vy times 10^3 times 40 - 2000 times (-20) = 40,000, vy + 40,000
Componente j:
vx times 10^3 times 40 - 2000 times 11.5 = 40,000, vx - 23,000
Componente k:
vx times 10^3 times (-20) - vy times 10^3 times 11.5 = -20,000, vx - 11,500, vy
Então,
v times B = (40,000, vy + 40,000), i - (40,000, vx - 23,000), j + (-20,000, vx - 11,500, vy), k
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo valor da carga q para obter FB:
FB = q, (v times B) = 1,602 times 10^-19, [(40,000, vy + 40,000), i - (40,000, vx - 23,000), j + (-20,000, vx - 11,500, vy), k]
Passo 7
Sabemos que FB = (7 times 10^-17, i + 6 times 10^-17, j) N. Igualando as componentes correspondentes:
Para a componente i:
1,602 times 10^-19 times (40,000, vy + 40,000) = 7 times 10^-17
Para a componente j:
-1,602 times 10^-19 times (40,000, vx - 23,000) = 6 times 10^-17
Como a força na direção k não é mencionada, podemos ignorar essa equação para este problema.
Passo 8
Vamos resolver a equação para a componente j, pois nosso objetivo é encontrar vx:
-1,602 times 10^-19 times (40,000, vx - 23,000) = 6 times 10^-17
Divide ambos os lados por -1,602 times 10^-19:
40,000, vx - 23,000 = 6 times 10^-17-1,602 times 10^-19 approx -375