Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético uniforme B=11.5 i-20 j+40 k m T. No instante t1 o próton possui velocidade dada por v=(vx i+vy j+2,0 k) km / s e a força magnética que age sobre o próton é FB=(7 times 10^-17 i+6 times 10^-17 j) N. Nesse instante, determine:
a) a componente x do vetor velocidade;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton se movendo em um campo magnético uniforme B = 11.5, i - 20, j + 40, k mT. No instante t1, a velocidade do próton é v = (vx, i + vy, j + 2.0, k) km/s e a força magnética que age sobre ele é FB = (7 times 10^-17, i + 6 times 10^-17, j) N. A gente precisa encontrar a componente x da velocidade, vx. Para isso, vamos usar a teoria da força magnética sobre uma carga em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão para a força magnética FB que age sobre uma partícula carregada. A fórmula é:
FB = q, v times B
Onde:
  • q é a carga da partícula,
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é o campo magnético,
  • times representa o produto vetorial entre os vetores.
Como estamos procurando vx, vamos isolar essa componente na equação.

Passo 3

Sabemos que a carga do próton é positiva e igual a q = 1,602 times 10^-19 C. Vamos escrever os vetores em componentes:
v = vx, i + vy, j + 2.0, k km/s = (vx times 10^3), i + (vy times 10^3), j + 2000, k m/s
Conversão de km/s para m/s: 1 km/s = 10^3 m/s.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial v times B. Primeiro, substituímos os valores:
v times B = i & j & k vx times 10^3 & vy times 10^3 & 2000 11.5 & -20 & 40
Calculando o determinante:
v times B = i(vy times 10^3 times 40 - 2000 times (-20)) - j(vx times 10^3 times 40 - 2000 times 11.5) + k(vx times 10^3 times (-20) - vy times 10^3 times 11.5)

Passo 5

Simplificando os componentes:
  • Componente i:
vy times 10^3 times 40 - 2000 times (-20) = 40,000, vy + 40,000
  • Componente j:
vx times 10^3 times 40 - 2000 times 11.5 = 40,000, vx - 23,000
  • Componente k:
vx times 10^3 times (-20) - vy times 10^3 times 11.5 = -20,000, vx - 11,500, vy
Então,
v times B = (40,000, vy + 40,000), i - (40,000, vx - 23,000), j + (-20,000, vx - 11,500, vy), k

Passo 6

Agora, multiplicamos pelo valor da carga q para obter FB:
FB = q, (v times B) = 1,602 times 10^-19, [(40,000, vy + 40,000), i - (40,000, vx - 23,000), j + (-20,000, vx - 11,500, vy), k]

Passo 7

Sabemos que FB = (7 times 10^-17, i + 6 times 10^-17, j) N. Igualando as componentes correspondentes:
Para a componente i:
1,602 times 10^-19 times (40,000, vy + 40,000) = 7 times 10^-17
Para a componente j:
-1,602 times 10^-19 times (40,000, vx - 23,000) = 6 times 10^-17
Como a força na direção k não é mencionada, podemos ignorar essa equação para este problema.

Passo 8

Vamos resolver a equação para a componente j, pois nosso objetivo é encontrar vx:
-1,602 times 10^-19 times (40,000, vx - 23,000) = 6 times 10^-17
Divide ambos os lados por -1,602 times 10^-19:
40,000, vx - 23,000 = 6 times 10^-17-1,602 times 10^-19 approx -375

Passo 9

Agora, isolamos vx:
40,000, vx = -375 + 23,000 40,000, vx = 22,625 vx = 22,62540,000 = 0,5656 m/s
Convertendo para km/s:
vx = 0,5656 m/s = 0,0005656 km/s

Resposta

A componente x da velocidade do próton é aproximadamente vx = 5,66 times 10^-4 km/s.

Exercícios relacionados