Num circuito RLC série, a corrente está adiantada de 60^circ em relação a tensão. Considerando uma impedância de 200 Omega e que XC=2.XL, calcule a resistência e as reatâncias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito RLC série juntos! O enunciado nos diz que a corrente está adiantada em 60^circ em relação à tensão, a impedância total é de 200 Omega e que a reatância capacitiva ( XC) é o dobro da reatância indutiva ( XL). Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da resistência ( R) e das reatâncias ( XL e XC). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre impedância em circuitos RLC e como o ângulo de fase entre corrente e tensão se relaciona com esses componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC série, a impedância total ( Z) é dada pela fórmula:
Z = raizR^2 + (XL - XC)^2
Aqui, R é a resistência, XL é a reatância indutiva e XC é a reatância capacitiva. A diferença (XL - XC) representa a reatância total do circuito.

Passo 3

O enunciado também menciona que a corrente está adiantada em 60^circ em relação à tensão. Isso significa que o circuito está predominantemente capacitivo, já que em circuitos capacitivos a corrente adianta a tensão. Usamos a relação entre o ângulo de fase ( phi) e as reatâncias para encontrar uma segunda equação. Sabemos que:
tan(phi) = XL - XCR
Como a corrente está adiantada, o ângulo de fase é negativo, mas para simplificar, consideraremos o valor absoluto:
tan(60^circ) = XL - XCR

Passo 4

Sabemos também pelo enunciado que XC = 2XL. Vamos substituir isso na equação da tangente:
tan(60^circ) = XL - 2XLR = -XLR
Como estamos utilizando o valor absoluto, podemos escrever:
tan(60^circ) = XLR
Sabendo que tan(60^circ) = raiz3, temos:
raiz3 = XLR
Portanto:
XL = R cdot raiz3

Passo 5

Agora, vamos voltar à fórmula da impedância total:
Z = raizR^2 + (XL - XC)^2
Substituindo XC = 2XL:
Z = raizR^2 + (XL - 2XL)^2 = raizR^2 + (-XL)^2 = raizR^2 + XL^2
Sabemos que Z = 200 Omega, então:
200 = raizR^2 + XL^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
200^2 = R^2 + XL^2 40000 = R^2 + XL^2

Passo 6

Lembrando que XL = R cdot raiz3, vamos substituir na equação acima:
40000 = R^2 + (R cdot raiz3)^2 40000 = R^2 + 3R^2 40000 = 4R^2
Dividindo ambos os lados por 4:
R^2 = 10000 R = raiz10000 R = 100 Omega

Passo 7

Agora que encontramos R = 100 Omega, podemos encontrar XL usando XL = R cdot raiz3:
XL = 100 cdot raiz3 approx 100 cdot 1,732 approx 173,2 Omega
E como XC = 2XL:
XC = 2 cdot 173,2 approx 346,4 Omega

Resposta

A resistência é 100,Omega, a reatância indutiva é aproximadamente 173,2,Omega e a reatância capacitiva é aproximadamente 346,4,Omega.

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