Em um circuito RLC série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para metade do valor inicial. Suponha que q=Q em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício diz! Temos um circuito RLC série oscilante e precisamos descobrir quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para metade do valor inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, energia em capacitores e a equação de decaimento exponencial. Precisamos das fórmulas de energia no capacitor e da taxa de decaimento relacionada à resistência do circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A energia U = 12 C V^2 em um capacitor é dada por:
U = q^22C
onde é a capacitância e é a tensão no capacitor. No nosso caso, a carga está relacionada à tensão por , então podemos reescrever a energia como:

Passo 3

Agora, queremos que a energia inicial Q^22C cdot e^-RL t = 12 cdot Q^22C seja reduzida para metade, ou seja, . Vamos relacionar isso com a carga. Se , então:

Passo 4

Simplificando a equação, temos:
e^-RL t = 12
Para resolver para -RL t = ln(12) , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 5

Resolvendo para t = -LR ln(12) :
t = LR ln2
Sabemos que , então:

Resposta

O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor diminua para metade é:
t = LR ln2

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