Em um circuito RLC série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para metade do valor inicial. Suponha que
em
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício diz! Temos um circuito RLC série oscilante e precisamos descobrir quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para metade do valor inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, energia em capacitores e a equação de decaimento exponencial. Precisamos das fórmulas de energia no capacitor e da taxa de decaimento relacionada à resistência do circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia armazenada em um capacitor. A energia
em um capacitor é dada por:
onde
é a capacitância e
é a tensão no capacitor. No nosso caso, a carga
está relacionada à tensão por
, então podemos reescrever a energia como:
Passo 3
Agora, queremos que a energia inicial
seja reduzida para metade, ou seja,
. Vamos relacionar isso com a carga. Se
, então:
Passo 4
Simplificando a equação, temos:
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O tempo necessário para que a energia máxima no capacitor diminua para metade é: