Uma onda eletromagnética possui um campo magnético dado por B(x, t)=-(8,25 cdot 10^-9 T) j cos [(1,38.10^4 r a dm) x+omega t]. a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? b) Qual é a frequência f da onda? c ) Escreva a equação vetorial para E(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre ondas eletromagnéticas! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A gente tem uma onda eletromagnética com um campo magnético dado pela expressão fornecida. Precisamos descobrir três coisas:
a) A direção e o sentido de propagação da onda.
b) A frequência da onda.
c) Escrever a equação vetorial para o campo elétrico E(x, t).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre os campos elétrico e magnético, a velocidade de propagação e a frequência.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) que pede para determinar a direção e o sentido de propagação da onda. Sabemos que em uma onda eletromagnética, os campos elétrico ( E) e magnético ( B) são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda.
Dada a expressão do campo magnético:
B(x, t) = -(8,25 cdot 10^-9 , T) j cos [(1,38 times 10^4 , rad/m) x + omega t]
Aqui, o campo magnético está na direção -j, ou seja, no sentido negativo do eixo y.
Como os campos são perpendiculares e a direção de propagação é perpendicular a ambos, podemos usar a regra da mão direita para determinar a direção da velocidade de propagação v.

Passo 3

Pela regra da mão direita, se alinharmos o polegar na direção de E e os dedos na direção de B, a palma indicará a direção de propagação da onda.
Como o campo magnético está no sentido -j e não sabemos ainda a direção de E, mas sabemos que E e B são perpendiculares, podemos concluir que a onda está se propagando na direção perpendicular aos campos.
Portanto, a direção de propagação é ao longo do eixo x, já que o campo magnético é no eixo y. O sinal negativo em B indica que a onda está se propagando no sentido positivo do eixo x.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b), que pede a frequência f da onda. Sabemos que a frequência está relacionada à velocidade de propagação v e o comprimento de onda lambda pela fórmula:
v = f lambda
Para ondas eletromagnéticas no vácuo, a velocidade v é a velocidade da luz c = 3 times 10^8 , m/s.
Também sabemos que a constante k na função cosseno é o número de onda, que está relacionado ao comprimento de onda por:
k = 2pilambda
Na expressão dada, o número de onda k é 1,38 times 10^4 , rad/m. Vamos usar isso para encontrar lambda e então f.

Passo 5

Vamos calcular o comprimento de onda lambda usando k = 2pilambda:
lambda = 2pik = 2pi1,38 times 10^4 , rad/m approx 6,28321,38 times 10^4 approx 4,56 times 10^-4 , m
Agora, usando a relação v = f lambda, e sabendo que v = c = 3 times 10^8 , m/s:
f = vlambda = 3 times 10^84,56 times 10^-4 approx 6,58 times 10^11 , Hz

Passo 6

Finalmente, vamos para a parte c), onde precisamos escrever a equação vetorial para o campo elétrico E(x, t).
Sabemos que, em uma onda eletromagnética, os campos E e B estão relacionados pela equação:
E = c , B times k
onde k é o vetor unitário na direção de propagação.
Mas também podemos usar a relação entre a amplitude dos campos:
E = cB
Dado que o campo magnético é:
B(x, t) = -8,25 times 10^-9 , T , j cos(kx + omega t)
Então o campo elétrico terá amplitude:
E = cB = 3 times 10^8 , m/s times 8,25 times 10^-9 , T = 2,475 times 10^0 , V/m = 2,475 , V/m
E a direção de E será perpendicular a B e à direção de propagação (x). Como B está em -j, E estará em k (ou z).

Resposta

a) A onda eletromagnética está se propagando na direção positiva do eixo x.
b) A frequência da onda é aproximadamente 6,58 times 10^11 , Hz.
c) A equação vetorial para o campo elétrico é:
E(x, t) = 2,475 , k cos[(1,38 times 10^4 , rad/m) x + omega t]

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