Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para 1 / 3 do valor inicial. Suponha que q=Q em t=0 e além disso L=10 mH e R=10 Omega.
A) t=LR ln (23)
B) t=LR ln (32)
C) t=LR ln (3)
D) t=2 LR ln (32)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito RLC em série que está oscilando, e queremos descobrir quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para um terço do valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia em um circuito RLC decai ao longo do tempo, especialmente considerando os efeitos da resistência. Vamos usar algumas fórmulas de circuitos elétricos e cálculo de exponenciais para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
U = Q^22C
Aqui, $ U $ é a energia, $ Q $ é a carga no capacitor e $ C $ é a capacitância. No nosso caso, a energia está diminuindo ao longo do tempo devido à resistência no circuito, o que causa um decaimento exponencial da energia.

Passo 3

Sabemos que, em um circuito RLC oscilante com resistência $ R $ e indutância $ L $, a energia no capacitor decai conforme a função:
R
Onde:
  • $ U(t) $ é a energia no tempo $ t $,
  • $ U_0 $ é a energia inicial máxima,
  • $ R $ é a resistência,
  • $ L $ é a indutância.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a energia $ U(t) $ é igual a um terço da energia inicial $ U_0 $. Então, configuramos a equação assim:
t
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ U_0 $:
U(t)

Passo 5

Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
t
Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) $, podemos reescrever:
ln(13) = -RL t

Passo 6

Agora, eliminamos os sinais negativos e isolamos $ t $:
t
ln(3) = RL t

Resposta

A resposta correta é:
C) $ t = \frac{L}{R} \ln(3) $

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