Em um circuito RLC em série oscilante, determine o tempo necessário para que a energia máxima presente no capacitor durante uma oscilação diminua para
do valor inicial. Suponha que
em
e além disso
e
.
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito RLC em série que está oscilando, e queremos descobrir quanto tempo leva para a energia máxima armazenada no capacitor diminuir para um terço do valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia em um circuito RLC decai ao longo do tempo, especialmente considerando os efeitos da resistência. Vamos usar algumas fórmulas de circuitos elétricos e cálculo de exponenciais para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia armazenada em um capacitor é dada por:
Aqui, $ U $ é a energia, $ Q $ é a carga no capacitor e $ C $ é a capacitância. No nosso caso, a energia está diminuindo ao longo do tempo devido à resistência no circuito, o que causa um decaimento exponencial da energia.
Passo 3
Sabemos que, em um circuito RLC oscilante com resistência $ R $ e indutância $ L $, a energia no capacitor decai conforme a função:
Onde:
- $ U(t) $ é a energia no tempo $ t $,
- $ U_0 $ é a energia inicial máxima,
- $ R $ é a resistência,
- $ L $ é a indutância.
Passo 4
Queremos encontrar o tempo $ t $ quando a energia $ U(t) $ é igual a um terço da energia inicial $ U_0 $. Então, configuramos a equação assim:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ U_0 $:
Passo 5
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Lembrando que $ \ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) $, podemos reescrever:
Passo 6
Agora, eliminamos os sinais negativos e isolamos $ t $:
Resposta
A resposta correta é:
C) $ t = \frac{L}{R} \ln(3) $