Um circuito RLC em série tem uma indutância
, uma capacitância
e uma resistência
. O sistema começa a oscilar no instante
, quando o capacitor está completamente carregado. determine o valor da carga inicial;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC em série com uma indutância de
, uma capacitância de
e uma resistência de
. No instante
, o capacitor está completamente carregado e o sistema começa a oscilar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor inicial da carga no capacitor, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um circuito RLC em série. Esse tipo de circuito é composto por um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor © ligados em uma única malha. Quando o capacitor está totalmente carregado e então liberado, ele começa a oscilar devido à interação entre a energia armazenada no campo elétrico do capacitor e a energia magnética no indutor.
Passo 3
Para resolver esse problema, precisamos usar a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito RLC série. A equação geral é:
Aqui,
é a carga no capacitor em função do tempo
.
Passo 4
No caso de oscilações sem amortecimento (quando
), a solução para a carga seria uma função seno ou cosseno com uma frequência natural. No entanto, como temos uma resistência
, o sistema é amortecido, e a solução incluirá um termo exponencial que descreve a diminuição da amplitude das oscilações ao longo do tempo.
Passo 5
A solução geral para a carga
em um circuito RLC série é:
Onde:
-
é a carga inicial no capacitor. -
é a frequência amortecida das oscilações.
Passo 6
No instante inicial
, temos:
Isso mostra que a carga no capacitor no instante inicial é exatamente
, que é o valor que queremos determinar.
Passo 7
Para encontrar
, precisamos de uma condição adicional, como a energia armazenada no capacitor ou uma corrente inicial específica. No entanto, com as informações fornecidas, podemos apenas expressar
em termos dos parâmetros do circuito.
Passo 8
Se considerarmos que no instante
o capacitor está totalmente carregado e a corrente inicial é zero, podemos utilizar a relação entre a energia armazenada no capacitor e a energia total do circuito.
A energia armazenada no capacitor é dada por:
Passo 9
Sem uma fonte de energia externa ou uma condição adicional de energia, não podemos determinar numericamente
. Portanto,
permanece como a carga inicial desconhecida que depende das condições específicas do circuito no momento
.
Resposta
Com as informações fornecidas, o valor inicial da carga no capacitor é
, e para determinar seu valor numérico, seriam necessárias condições adicionais do sistema, como a energia armazenada ou a fonte de carga utilizada.
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(a tensão no indutor).
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