Um circuito RLC em série tem uma indutância L=18 times 10^-3 H, uma capacitância C=1,2 times 10^-6 F e uma resistência R=2,5 Omega. O sistema começa a oscilar no instante t=0, quando o capacitor está completamente carregado. determine o valor da carga inicial;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RLC em série com uma indutância de , uma capacitância de e uma resistência de . No instante , o capacitor está completamente carregado e o sistema começa a oscilar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o valor inicial da carga no capacitor, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um circuito RLC em série. Esse tipo de circuito é composto por um resistor ®, um indutor (L) e um capacitor © ligados em uma única malha. Quando o capacitor está totalmente carregado e então liberado, ele começa a oscilar devido à interação entre a energia armazenada no campo elétrico do capacitor e a energia magnética no indutor.

Passo 3

Para resolver esse problema, precisamos usar a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito RLC série. A equação geral é:
L d^2Qdt^2 + R dQdt + QC = 0
Aqui, é a carga no capacitor em função do tempo .

Passo 4

No caso de oscilações sem amortecimento (quando ), a solução para a carga seria uma função seno ou cosseno com uma frequência natural. No entanto, como temos uma resistência , o sistema é amortecido, e a solução incluirá um termo exponencial que descreve a diminuição da amplitude das oscilações ao longo do tempo.

Passo 5

A solução geral para a carga Q(t) = Q0 e^-R2L t cos( omega' t ) em um circuito RLC série é:
Onde:
  • é a carga inicial no capacitor.
  • é a frequência amortecida das oscilações.

Passo 6

No instante inicial Q(0) = Q0 e^0 cos(0) = Q0 , temos:
Isso mostra que a carga no capacitor no instante inicial é exatamente , que é o valor que queremos determinar.

Passo 7

Para encontrar , precisamos de uma condição adicional, como a energia armazenada no capacitor ou uma corrente inicial específica. No entanto, com as informações fornecidas, podemos apenas expressar em termos dos parâmetros do circuito.

Passo 8

Se considerarmos que no instante U = Q0^22C o capacitor está totalmente carregado e a corrente inicial é zero, podemos utilizar a relação entre a energia armazenada no capacitor e a energia total do circuito.
A energia armazenada no capacitor é dada por:

Passo 9

Sem uma fonte de energia externa ou uma condição adicional de energia, não podemos determinar numericamente . Portanto, permanece como a carga inicial desconhecida que depende das condições específicas do circuito no momento .

Resposta

Com as informações fornecidas, o valor inicial da carga no capacitor é , e para determinar seu valor numérico, seriam necessárias condições adicionais do sistema, como a energia armazenada ou a fonte de carga utilizada.

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