No circuito a seguir, a chave S permaneceu aberta por um longo tempo. No instante t=0, a chave é fechada. Qual é a corrente no resistor de R3 em função do tempo? Sugestão de roteiro: chame de I1 a corrente em R1, I2 a corrente no capacitor e I3 a corrente em R3. Pelas Leis de Kirchhoff (nós e cada malha), tente escrever uma equação só com I2 e Q2 (além de constantes, óbvio). Esta será a EDO a ser resolvida. Obtido Q2(t), retorne à equação obtida pela malha inferior e determine I3(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito onde a chave ficou aberta por um tempo e, no instante , ela é fechada. Queremos descobrir como a corrente no resistor varia com o tempo . Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente as Leis de Kirchhoff, para resolver isso. Precisaremos identificar as correntes , e nos resistores , no capacitor e em respectivamente, e montar uma equação diferencial para , a carga no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as correntes no circuito. Chamamos de a corrente passando por , a corrente indo ou vindo do capacitor , e a corrente passando por . Quando a chave é fechada, a corrente começa a circular pelo circuito e o capacitor começa a carregar.

Passo 3

Aplicando a Lei dos Nós de Kirchhoff no ponto onde as correntes se encontram, temos que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das que saem. Isso nos dá a equação:
I1 = I2 + I3

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei das Malhas de Kirchhoff na malha principal. A soma das quedas de tensão nas resistências e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte. Isso nos dá:
V - I1 R1 - I3 R3 - Q2C = 0
Aqui, é a carga no capacitor e é a capacitância.

Passo 5

Sabemos que a corrente I2 = dQ2dt está relacionada à taxa de variação da carga no capacitor:
V - (I2 + I3) R1 - I3 R3 - Q2C = 0
Substituindo da equação do Passo 3 na equação do Passo 4:

Passo 6

Queremos uma equação só em termos de I3 = I1 - I2 e I3 = V - Q2CR1 - I2 . Primeiro, vamos isolar da equação do Passo 3:
Mas , então:

Passo 7

Substituindo V - (I2 + (V - Q2CR1 - I2)) R1 - (V - Q2CR1 - I2) R3 - Q2C = 0 na equação do Passo 5:
Simplificando essa expressão, chegamos a uma equação diferencial envolvendo .

Passo 8

Após simplificar, obtemos a seguinte equação diferencial:
dQ2dt + (R1 + R3R1 R3 C) Q2 = VR3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 9

Resolvendo a equação diferencial, encontramos:
Q2(t) = V R1 R3 CR1 + R3 (1 - e^-t(R1 + R3)R1 R3 C)

Passo 10

Finalmente, para encontrar a corrente I3 = V - Q2CR3 , usamos a relação:
I3(t) = VR3 e^-t(R1 + R3)R1 R3 C
Substituindo :

Resposta

A corrente no resistor I3(t) = VR3 , e^-t (R1 + R3)R1 R3 C em função do tempo é:

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