No circuito a seguir, a chave permaneceu aberta por um longo tempo. No instante , a chave é fechada. Qual é a corrente no resistor de em função do tempo? Sugestão de roteiro: chame de a corrente em a corrente no capacitor e a corrente em . Pelas Leis de Kirchhoff (nós e cada malha), tente escrever uma equação só com e (além de constantes, óbvio). Esta será a EDO a ser resolvida. Obtido , retorne à equação obtida pela malha inferior e determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito onde a chave ficou aberta por um tempo e, no instante , ela é fechada. Queremos descobrir como a corrente no resistor varia com o tempo . Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente as Leis de Kirchhoff, para resolver isso. Precisaremos identificar as correntes , e nos resistores , no capacitor e em respectivamente, e montar uma equação diferencial para , a carga no capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as correntes no circuito. Chamamos de a corrente passando por , a corrente indo ou vindo do capacitor , e a corrente passando por . Quando a chave é fechada, a corrente começa a circular pelo circuito e o capacitor começa a carregar.

Passo 3

Aplicando a Lei dos Nós de Kirchhoff no ponto onde as correntes se encontram, temos que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das que saem. Isso nos dá a equação:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei das Malhas de Kirchhoff na malha principal. A soma das quedas de tensão nas resistências e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte. Isso nos dá:
Aqui, é a carga no capacitor e é a capacitância.

Passo 5

Sabemos que a corrente está relacionada à taxa de variação da carga no capacitor:
Substituindo da equação do Passo 3 na equação do Passo 4:

Passo 6

Queremos uma equação só em termos de e . Primeiro, vamos isolar da equação do Passo 3:
Mas , então:

Passo 7

Substituindo na equação do Passo 5:
Simplificando essa expressão, chegamos a uma equação diferencial envolvendo .

Passo 8

Após simplificar, obtemos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 9

Resolvendo a equação diferencial, encontramos:

Passo 10

Finalmente, para encontrar a corrente , usamos a relação:
Substituindo :

Resposta

A corrente no resistor em função do tempo é:

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