No circuito a seguir, a chave
permaneceu aberta por um longo tempo. No instante
, a chave é fechada. Qual é a corrente no resistor de
em função do tempo? Sugestão de roteiro: chame de
a corrente em
a corrente no capacitor e
a corrente em
. Pelas Leis de Kirchhoff (nós e cada malha), tente escrever uma equação só com
e
(além de constantes, óbvio). Esta será a EDO a ser resolvida. Obtido
, retorne à equação obtida pela malha inferior e determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito onde a chave
ficou aberta por um tempo e, no instante
, ela é fechada. Queremos descobrir como a corrente no resistor
varia com o tempo
. Vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente as Leis de Kirchhoff, para resolver isso. Precisaremos identificar as correntes
,
e
nos resistores
, no capacitor e em
respectivamente, e montar uma equação diferencial para
, a carga no capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as correntes no circuito. Chamamos de
a corrente passando por
,
a corrente indo ou vindo do capacitor
, e
a corrente passando por
. Quando a chave é fechada, a corrente começa a circular pelo circuito e o capacitor começa a carregar.
Passo 3
Aplicando a Lei dos Nós de Kirchhoff no ponto onde as correntes se encontram, temos que a soma das correntes que entram no nó é igual à soma das que saem. Isso nos dá a equação:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Lei das Malhas de Kirchhoff na malha principal. A soma das quedas de tensão nas resistências e no capacitor deve ser igual à tensão da fonte. Isso nos dá:
Aqui,
é a carga no capacitor e
é a capacitância.
Passo 5
Sabemos que a corrente
está relacionada à taxa de variação da carga no capacitor:
Substituindo
da equação do Passo 3 na equação do Passo 4:
Passo 6
Queremos uma equação só em termos de
e
. Primeiro, vamos isolar
da equação do Passo 3:
Mas
, então:
Passo 7
Substituindo
na equação do Passo 5:
Simplificando essa expressão, chegamos a uma equação diferencial envolvendo
.
Passo 8
Após simplificar, obtemos a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 9
Resolvendo a equação diferencial, encontramos:
Passo 10
Finalmente, para encontrar a corrente
, usamos a relação:
Substituindo
:
Resposta
A corrente no resistor
em função do tempo é: