Considere um plano infinito de correntes (plano ) com correntes fluindo na direção . A corrente por unidade de comprimento (ao longo da direção ) vale . Aplique a Lei de Ampère e obtenha o campo magnético em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um plano infinito de correntes no plano , com as correntes fluindo na direção . A corrente por unidade de comprimento ao longo da direção é . Nosso objetivo aqui é aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético em todo o espaço. Pra isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la a situações de simetria, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Matematicamente, ela é dada por:
Aqui, é o campo magnético, é um elemento infinitesimal do caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que atravessa o caminho.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um caminho de Ampère apropriado que aproveite a simetria do problema. Como temos um plano infinito de correntes no plano , a simetria é translacional ao longo do e simetria circular ao redor da direção das correntes ( ).
Nesse caso, um bom caminho de Ampère é um círculo com raio perpendicular ao plano de corrente, centrado no plano. Esse caminho aproveita a simetria, já que o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e será tangencial ao caminho.

Passo 4

Vamos calcular a integral do lado esquerdo da Lei de Ampère:
Aqui, é constante ao longo do caminho circular e é o comprimento da circunferência.

Passo 5

Agora, determinamos a corrente total que atravessa o caminho de Ampère. Como a corrente por unidade de comprimento na direção é , e o caminho circular tem uma largura infinitesimal ao longo de , a corrente total que atravessa o caminho é:
Onde é o comprimento ao longo do . No entanto, como o plano é infinito e a corrente está distribuída ao longo do , acabamos com uma densidade de corrente linear. Para nosso caso, consideramos a corrente total atravessando o caminho como .

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:
Agora, resolvemos para :

Resposta

O campo magnético em todo o espaço devido a um plano infinito de correntes com corrente por unidade de comprimento é:
Onde é a distância perpendicular ao plano de corrente e é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo escolhido como caminho de Ampère.

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