Considere um plano infinito de correntes (plano
) com correntes fluindo na direção
. A corrente por unidade de comprimento (ao longo da direção
) vale
. Aplique a Lei de Ampère e obtenha o campo magnético em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um plano infinito de correntes no plano
, com as correntes fluindo na direção
. A corrente por unidade de comprimento ao longo da direção
é
. Nosso objetivo aqui é aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético em todo o espaço. Pra isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la a situações de simetria, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Matematicamente, ela é dada por:
Aqui,
é o campo magnético,
é um elemento infinitesimal do caminho fechado,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente total que atravessa o caminho.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um caminho de Ampère apropriado que aproveite a simetria do problema. Como temos um plano infinito de correntes no plano
, a simetria é translacional ao longo do
e simetria circular ao redor da direção das correntes (
).
Nesse caso, um bom caminho de Ampère é um círculo com raio
perpendicular ao plano de corrente, centrado no plano. Esse caminho aproveita a simetria, já que o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e será tangencial ao caminho.
Passo 4
Vamos calcular a integral do lado esquerdo da Lei de Ampère:
Aqui,
é constante ao longo do caminho circular e
é o comprimento da circunferência.
Passo 5
Agora, determinamos a corrente total
que atravessa o caminho de Ampère. Como a corrente por unidade de comprimento na direção
é
, e o caminho circular tem uma largura infinitesimal ao longo de
, a corrente total que atravessa o caminho é:
Onde
é o comprimento ao longo do
. No entanto, como o plano é infinito e a corrente está distribuída ao longo do
, acabamos com uma densidade de corrente linear. Para nosso caso, consideramos a corrente total atravessando o caminho como
.
Passo 6
Aplicando a Lei de Ampère:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O campo magnético em todo o espaço devido a um plano infinito de correntes com corrente por unidade de comprimento
é:
Onde
é a distância perpendicular ao plano de corrente e
é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo escolhido como caminho de Ampère.
Exercícios relacionados
No circuito a seguir, a chave
permaneceu aberta por um longo tempo. No instante
, a chave é fechada. Qual é a corrente no resistor de
em função do tempo? Sugestão de roteiro: chame de
a corrente em
a corrente no capacitor e
a corrente em
. Pelas Leis de Kirchhoff (nós e cada malha), tente escrever uma equação só com
e
(além de constantes, óbvio). Esta será a EDO a ser resolvida. Obtido
, retorne à equação obtida pela malha inferior e determine
.
O campo magnético total será dado pela soma do campo magnético permanente do ímã com o campo magnético induzido pela corrente da espira. Como este campo total varia senoidalmente entre os valores de 26,6 T e 30,0 T, com uma frequência de 15 Hz , a sua equação horária será do tipo:
Onde
.
Seja um fio infinito de densidade de carga
. Considerando o potencial a distância
do fio nulo, qual o potencial a
? E a
? Qual o trabalho da força elétrica gerada pelo fio sobre uma carga
que se desloca de
até
de distância do fio?
Uma carga
está no ponto
está em
e
está em
. Considerando 0 o potencial no infinito, qual o potencial total gerado pelas três cargas no ponto
? (as coordenadas estão em metros)