Considere um plano infinito de correntes (plano x z ) com correntes fluindo na direção z. A corrente por unidade de comprimento (ao longo da direção x ) vale K. Aplique a Lei de Ampère e obtenha o campo magnético em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um plano infinito de correntes no plano xz, com as correntes fluindo na direção z. A corrente por unidade de comprimento ao longo da direção x é K. Nosso objetivo aqui é aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético em todo o espaço. Pra isso, vamos precisar entender a Lei de Ampère e como aplicá-la a situações de simetria, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère, que é uma das equações de Maxwell e relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa por esse caminho. Matematicamente, ela é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, B é o campo magnético, dl é um elemento infinitesimal do caminho fechado, mu0 é a permeabilidade do vácuo, e Ienc é a corrente total que atravessa o caminho.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um caminho de Ampère apropriado que aproveite a simetria do problema. Como temos um plano infinito de correntes no plano xz, a simetria é translacional ao longo do x e simetria circular ao redor da direção das correntes ( z).
Nesse caso, um bom caminho de Ampère é um círculo com raio r perpendicular ao plano de corrente, centrado no plano. Esse caminho aproveita a simetria, já que o campo magnético terá a mesma magnitude em todos os pontos do círculo e será tangencial ao caminho.

Passo 4

Vamos calcular a integral do lado esquerdo da Lei de Ampère:
oint B cdot dl = B oint dl = B cdot 2pi r
Aqui, B é constante ao longo do caminho circular e 2pi r é o comprimento da circunferência.

Passo 5

Agora, determinamos a corrente total Ienc que atravessa o caminho de Ampère. Como a corrente por unidade de comprimento na direção x é K, e o caminho circular tem uma largura infinitesimal ao longo de x, a corrente total que atravessa o caminho é:
Ienc = K cdot L
Onde L é o comprimento ao longo do x. No entanto, como o plano é infinito e a corrente está distribuída ao longo do x, acabamos com uma densidade de corrente linear. Para nosso caso, consideramos a corrente total atravessando o caminho como K.

Passo 6

Aplicando a Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 K
Agora, resolvemos para B:
B = mu0 K2pi r

Resposta

O campo magnético em todo o espaço devido a um plano infinito de correntes com corrente por unidade de comprimento K é:
B = mu0 K2pi r phi
Onde r é a distância perpendicular ao plano de corrente e phi é o vetor unitário na direção tangencial ao círculo escolhido como caminho de Ampère.

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