Seja um fio infinito de densidade de carga lambda=1 mu C / m. Considerando o potencial a distância r=1 m do fio nulo, qual o potencial a r=0,5 m ? E a r=3 m ? Qual o trabalho da força elétrica gerada pelo fio sobre uma carga q=0,1 mu C que se desloca de 0,5 m até 3 m de distância do fio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fio infinito com uma densidade de carga lambda = 1 mu C/m. A gente precisa calcular o potencial elétrico a duas distâncias diferentes desse fio: r = 0,5 m e r = 3 m. Além disso, precisamos descobrir o trabalho que a força elétrica realiza quando uma carga q = 0,1 mu C se desloca de 0,5 m até 3 m do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre o potencial elétrico gerado por linhas de carga infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V gerado por um fio infinito com densidade de carga lambda a uma distância r é dado pela fórmula:
V(r) = lambda2pivarepsilon0 ln(rr0)
Onde:
  • lambda é a densidade de carga do fio.
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2).
  • r0 é uma referência de distância onde o potencial é conhecido.
No enunciado, nos dizem que o potencial a r = 1 m é zero. Isso vai nos ajudar a encontrar a expressão simplificada.

Passo 3

Vamos aplicar o valor dado para achar a constante de referência. Substituindo V(1) = 0 na fórmula:
0 = lambda2pivarepsilon0 ln(11)
Como ln(1) = 0, isso confirma que a constante está correta e podemos simplificar a expressão para:
V(r) = lambda2pivarepsilon0 ln(r)

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial a r = 0,5 m:
V(0,5) = 1 times 10^-6 , C/m2pi times 8,85 times 10^-12 , C^2/(N cdot m^2) ln(0,5)
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Calcular lambda2pivarepsilon0:
1 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 approx 1 times 10^-65,56 times 10^-11 approx 1,80 times 10^4 , V/m
  1. Multiplicar pelo logaritmo natural de 0,5:
1,80 times 10^4 times ln(0,5) approx 1,80 times 10^4 times (-0,693) approx -1,25 times 10^4 , V

Passo 5

Vamos calcular agora o potencial a r = 3 m usando a mesma fórmula:
V(3) = 1 times 10^-62pi times 8,85 times 10^-12 ln(3)
Seguindo os mesmos passos:
  1. Já sabemos que lambda2pivarepsilon0 approx 1,80 times 10^4 , V/m.
  2. Multiplicar pelo logaritmo natural de 3:
1,80 times 10^4 times ln(3) approx 1,80 times 10^4 times 1,0986 approx 1,98 times 10^4 , V

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga q = 0,1 mu C = 1 times 10^-7 , C se move de 0,5 m para 3 m. O trabalho W é dado pela diferença de potencial vezes a carga:
W = q times (V(3) - V(0,5))
Substituindo os valores:
W = 1 times 10^-7 , C times (1,98 times 10^4 - (-1,25 times 10^4)) , V
W = 1 times 10^-7 times (3,23 times 10^4) approx 3,23 times 10^-3 , J

Resposta

O potencial a r = 0,5 , m é aproximadamente -1,25 times 10^4 , V, a r = 3 , m é aproximadamente 1,98 times 10^4 , V, e o trabalho realizado pela força elétrica ao mover a carga de 0,5 , m para 3 , m é aproximadamente 3,23 times 10^-3 , J.

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