Seja um fio infinito de densidade de carga . Considerando o potencial a distância do fio nulo, qual o potencial a ? E a ? Qual o trabalho da força elétrica gerada pelo fio sobre uma carga que se desloca de até de distância do fio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um fio infinito com uma densidade de carga . A gente precisa calcular o potencial elétrico a duas distâncias diferentes desse fio: e . Além disso, precisamos descobrir o trabalho que a força elétrica realiza quando uma carga se desloca de até do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre o potencial elétrico gerado por linhas de carga infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico gerado por um fio infinito com densidade de carga a uma distância é dado pela fórmula:
Onde:
  • é a densidade de carga do fio.
  • é a constante de permissividade do vácuo, aproximadamente .
  • é uma referência de distância onde o potencial é conhecido.
No enunciado, nos dizem que o potencial a é zero. Isso vai nos ajudar a encontrar a expressão simplificada.

Passo 3

Vamos aplicar o valor dado para achar a constante de referência. Substituindo na fórmula:
Como , isso confirma que a constante está correta e podemos simplificar a expressão para:

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial a :
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Calcular :
  1. Multiplicar pelo logaritmo natural de 0,5:

Passo 5

Vamos calcular agora o potencial a usando a mesma fórmula:
Seguindo os mesmos passos:
  1. Já sabemos que .
  2. Multiplicar pelo logaritmo natural de 3:

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga se move de para . O trabalho é dado pela diferença de potencial vezes a carga:
Substituindo os valores:

Resposta

O potencial a é aproximadamente , a é aproximadamente , e o trabalho realizado pela força elétrica ao mover a carga de para é aproximadamente .

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