Um circuito em série consiste em um indutor de 0,25 H, um resistor de 40 Ω, um capacitor de 4 × 10 − 4 F e uma força eletromotriz dada por V(t) = 5 sen 100t V. Se a corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a carga no capacitor para qualquer tempo t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série, que tem um indutor de 0,25 H, um resistor de 40 Ω, um capacitor de 4 × 10⁻⁴ F e uma força eletromotriz $ V(t) = 5 \sin(100t) $ V. A gente precisa descobrir qual é a carga no capacitor para qualquer tempo $ t > 0 $, sabendo que tanto a corrente inicial quanto a carga inicial no capacitor são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um circuito RLC em série. Nesse tipo de circuito, os três componentes (resistor, indutor e capacitor) estão conectados um após o outro. A força eletromotriz $ V(t) $ é a fonte que está aplicando uma tensão que varia com o tempo.

Passo 3

Para achar a carga no capacitor $ Q(t) $, precisamos montar a equação que relaciona tensão, corrente e carga nesse circuito. A lei de Kirchhoff nos diz que a soma das tensões nos elementos do circuito é igual à tensão da fonte:
Q(t)
Onde:
  • $ V_R = R \cdot i(t) $ é a tensão no resistor,
  • $ V_L = L \cdot \frac{di(t)}{dt} $ é a tensão no indutor,
  • $ V_C = \frac{Q(t)}{C} $ é a tensão no capacitor.
Como $ i(t) = \frac{dQ(t)}{dt} $, podemos reescrever a equação:
V(t) = VR + VL + VC

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
L d^2Q(t)dt^2 + R dQ(t)dt + Q(t)C = V(t)
Vamos substituir os valores dados:
0,25 d^2Q(t)dt^2 + 40 dQ(t)dt + Q(t)4 times 10^-4 = 5 sin(100t)
Simplificando a equação:
0,25 d^2Q(t)dt^2 + 40 dQ(t)dt + 25000 Q(t) = 5 sin(100t)

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada:
0,25 d^2Q(t)dt^2 + 40 dQ(t)dt + 25000 Q(t) = 0
Dividindo todos os termos por 0,25 para simplificar:
d^2Q(t)dt^2 + 160 dQ(t)dt + 100000 Q(t) = 0

Passo 6

Resolvendo a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 160 r + 100000 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r = -160 pm raiz160^2 - 4 cdot 1 cdot 1000002
r = -160 pm raiz25600 - 4000002
r = -160 pm raiz-3744002
r = -160 pm j raiz3744002
r = -80 pm j cdot 306,2

Passo 7

As raízes são complexas $ r = -80 \pm j306,2 $, o que indica uma solução oscilatória amortecida. A solução geral da equação homogênea é:
r = -80 pm j306,2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a solução particular $ Q_p(t) $ para a equação não homogênea $ 5 \sin(100t) $. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Qp(t)
Derivando $ Q_p(t) $:
5 sin(100t)
Qp(t) = A sin(100t) + B cos(100t)

Passo 9

Substituindo $ Q_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
Qp(t)
Simplificando:
0,25(-10000 A sin(100t) - 10000 B cos(100t)) + 40(100 A cos(100t) - 100 B sin(100t)) + 25000 (A sin(100t) + B cos(100t)) = 5 sin(100t)
Agrupando os termos de $ \sin(100t) $ e $ \cos(100t) $:
-2500 A sin(100t) - 2500 B cos(100t) + 4000 A cos(100t) - 4000 B sin(100t) + 25000 A sin(100t) + 25000 B cos(100t) = 5 sin(100t)
sin(100t)

Passo 10

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ \sin(100t) $:
sin(100t)
Para $ \cos(100t) $:
22500 A - 4000 B = 5
Temos um sistema de equações:
cos(100t)

Passo 11

Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a segunda equação por $ \frac{4000}{22500} $ para facilitar a eliminação:
400022500
Mas é mais simples resolver diretamente. Vamos da segunda equação expressar $ A $ em função de $ B $:
4000 A + 22500 B = 0 Rightarrow 400022500 cdot 4000 A + 400022500 cdot 22500 B = 0 Rightarrow 169 A + 4000 B = 0
Substituindo na primeira equação:
A
Calculando $ B $:
B
Agora, calculando $ A $:
4000 A = -22500 B A = -225004000 B A = -5.625 B

Passo 12

Então, a solução particular é:
Qp(t) = 2.159 times 10^-4 sin(100t) - 3.832 times 10^-5 cos(100t)

Passo 13

A solução geral do circuito é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Q(t) = e^-80t ( C1 cos(306,2t) + C2 sin(306,2t) ) + 2.159 times 10^-4 sin(100t) - 3.832 times 10^-5 cos(100t)

Passo 14

Agora, aplicamos as condições iniciais $ Q(0) = 0 $ e $ i(0) = \frac{dQ}{dt} \bigg|_{t=0} = 0 $.
Primeiro, para $ Q(0) = 0 $:
Q(0) = 0
i(0) = dQdt g|t=0 = 0
Q(0) = 0

Passo 15

Agora, para $ i(0) = 0 $, ou seja, $ \frac{dQ}{dt} \bigg|_{t=0} = 0 $:
Primeiro, derivamos $ Q(t) $:
i(0) = 0
Avaliando em $ t = 0 $:
dQdt g|t=0 = 0
Q(t)
Substituindo $ C_1 = 3.832 \times 10^{-5} $:
dQ(t)dt = e^-80t ( -80 C1 cos(306,2t) - 306,2 C1 sin(306,2t) - 80 C2 sin(306,2t) + 306,2 C2 cos(306,2t) ) + 2.159 times 10^-4 cdot 100 cos(100t) + 3.832 times 10^-5 cdot 100 sin(100t)
t = 0
0 = e^0 ( -80 C1 cdot 1 - 306,2 C1 cdot 0 - 80 C2 cdot 0 + 306,2 C2 cdot 1 ) + 2.159 times 10^-4 cdot 100 cdot 1 + 3.832 times 10^-5 cdot 100 cdot 0
0 = -80 C1 + 306,2 C2 + 0,02159
C1 = 3.832 times 10^-5

Passo 16

Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos de volta na solução geral:
C1

Resposta

A carga no capacitor para qualquer tempo $ t > 0 $ é dada por:
t > 0

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