Um circuito em série consiste em um indutor de 0,25 H, um resistor de 40 Ω, um capacitor de 4 × 10 − 4 F e uma força eletromotriz dada por V(t) = 5 sen 100t V. Se a corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a carga no capacitor para qualquer tempo t > 0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito RLC em série, que tem um indutor de 0,25 H, um resistor de 40 Ω, um capacitor de 4 × 10⁻⁴ F e uma força eletromotriz $ V(t) = 5 \sin(100t) $ V. A gente precisa descobrir qual é a carga no capacitor para qualquer tempo $ t > 0 $, sabendo que tanto a corrente inicial quanto a carga inicial no capacitor são zero. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um circuito RLC em série. Nesse tipo de circuito, os três componentes (resistor, indutor e capacitor) estão conectados um após o outro. A força eletromotriz $ V(t) $ é a fonte que está aplicando uma tensão que varia com o tempo.
Passo 3
Para achar a carga no capacitor $ Q(t) $, precisamos montar a equação que relaciona tensão, corrente e carga nesse circuito. A lei de Kirchhoff nos diz que a soma das tensões nos elementos do circuito é igual à tensão da fonte:
Onde:
- $ V_R = R \cdot i(t) $ é a tensão no resistor,
- $ V_L = L \cdot \frac{di(t)}{dt} $ é a tensão no indutor,
- $ V_C = \frac{Q(t)}{C} $ é a tensão no capacitor.
Como $ i(t) = \frac{dQ(t)}{dt} $, podemos reescrever a equação:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Vamos substituir os valores dados:
Simplificando a equação:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada:
Dividindo todos os termos por 0,25 para simplificar:
Passo 6
Resolvendo a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
As raízes são complexas $ r = -80 \pm j306,2 $, o que indica uma solução oscilatória amortecida. A solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a solução particular $ Q_p(t) $ para a equação não homogênea $ 5 \sin(100t) $. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando $ Q_p(t) $:
Passo 9
Substituindo $ Q_p(t) $ e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Agrupando os termos de $ \sin(100t) $ e $ \cos(100t) $:
Passo 10
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para $ \sin(100t) $:
Para $ \cos(100t) $:
Temos um sistema de equações:
Passo 11
Resolvendo o sistema, podemos multiplicar a segunda equação por $ \frac{4000}{22500} $ para facilitar a eliminação:
Mas é mais simples resolver diretamente. Vamos da segunda equação expressar $ A $ em função de $ B $:
Substituindo na primeira equação:
Calculando $ B $:
Agora, calculando $ A $:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
A solução geral do circuito é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 14
Agora, aplicamos as condições iniciais $ Q(0) = 0 $ e $ i(0) = \frac{dQ}{dt} \bigg|_{t=0} = 0 $.
Primeiro, para $ Q(0) = 0 $:
Passo 15
Agora, para $ i(0) = 0 $, ou seja, $ \frac{dQ}{dt} \bigg|_{t=0} = 0 $:
Primeiro, derivamos $ Q(t) $:
Avaliando em $ t = 0 $:
Substituindo $ C_1 = 3.832 \times 10^{-5} $:
Passo 16
Agora que temos $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A carga no capacitor para qualquer tempo $ t > 0 $ é dada por: