Uma esfera de cobre com raio da ordem de micrômetros possui uma carga da ordem de dez mil cargas elementares, distribuídas uniformemente sobre sua superfície. Considere que a densidade superficial é mantida constante. Assinale a alternativa que contém a ordem de grandeza do número de cargas elementares em uma esfera de cobre com raio da ordem de milímetros. (A área da superfície de uma esfera é dada por 4πR^2)
(A) 10^19
(B) 10^16
© 10^13
(D) 10^10
(E) 10^1
(A) 10^19
(B) 10^16
© 10^13
(D) 10^10
(E) 10^1
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma esfera de cobre com raio na ordem de micrômetros que tem cerca de dez mil cargas elementares distribuídas igualmente na superfície. Queremos descobrir qual é a ordem de grandeza do número de cargas elementares em uma esfera maior, com raio na ordem de milímetros, mantendo a densidade superficial constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria das esferas e proporcionalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área da superfície de uma esfera é dada pela fórmula:
Onde $ R $ é o raio da esfera. Isso significa que a área depende do quadrado do raio.
Passo 3
Como a densidade superficial das cargas é constante, o número de cargas $ N $ é proporcional à área da superfície. Ou seja:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos determinar a relação entre os raios. O raio inicial $ R_1 $ é da ordem de micrômetros ($ 10^{-6} $ metros) e o raio final $ R_2 $ é da ordem de milímetros ($ 10^{-3} $ metros). Então:
Elevando ao quadrado:
Passo 5
Sabendo que a esfera inicial tinha cerca de $ N_1 = 10^{4} $ cargas, podemos calcular o número de cargas na esfera maior:
Resposta
A ordem de grandeza do número de cargas elementares na esfera de milímetros é $ 10^{10} $. Portanto, a alternativa correta é a (D) 10¹⁰.