Um circuito em série consiste em um resistor com resistência 20 Omega, um indutor com induntância L = 1 H, um capacitor com capacitância 0,002 F e uma bateria de E(t) volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante t quando:
E(t) = 12 volts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito em série que tem um resistor de , um indutor com indutância , um capacitor com capacitância e uma bateria que fornece uma tensão . A carga inicial e a corrente inicial são ambas zero. A gente precisa encontrar a carga e a corrente no instante em que volts.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de circuitos RLC (Resistor, Indutor, Capacitor) em corrente contínua (DC). Precisaremos montar e resolver uma equação diferencial que descreve o comportamento do circuito ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC em série, a soma das quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor é igual à tensão fornecida pela bateria. Matemáticamente, isso fica:
Onde:
  • é a tensão no resistor.
  • é a tensão no indutor.
  • é a tensão no capacitor.

Passo 3

Sabendo que (corrente é a derivada da carga em relação ao tempo), podemos substituir tudo na equação:
Como é constante, temos uma equação diferencial de segunda ordem para :

Passo 4

Vamos inserir os valores dados no problema:
Simplificando:

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação diferencial. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea:
Assumindo uma solução do tipo , substituímos na equação:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 6

A solução geral da equação homogênea é:
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é constante (12), tentamos uma solução constante .
Substituindo na equação:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 8

Condição inicial 1:
Substituindo :
Condição inicial 2:
Primeiro, derivamos :
No :

Passo 9

Substituindo e na solução geral:
Simplificando:
Para encontrar a corrente , derivamos :
Após simplificar:

Resposta

A carga e a corrente no instante são dadas por:

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