Um circuito em série consiste em um resistor com resistência
, um indutor com induntância
, um capacitor com capacitância
e uma bateria de
volts. Se a carga inicial e a corrente forem iguais a 0 , encontre a carga e a corrente no instante
quando:
volts.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito em série que tem um resistor de
, um indutor com indutância
, um capacitor com capacitância
e uma bateria que fornece uma tensão
. A carga inicial e a corrente inicial são ambas zero. A gente precisa encontrar a carga
e a corrente
no instante em que
volts.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de circuitos RLC (Resistor, Indutor, Capacitor) em corrente contínua (DC). Precisaremos montar e resolver uma equação diferencial que descreve o comportamento do circuito ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC em série, a soma das quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor é igual à tensão fornecida pela bateria. Matemáticamente, isso fica:
Onde:
-
é a tensão no resistor. -
é a tensão no indutor. -
é a tensão no capacitor.
Passo 3
Sabendo que
(corrente é a derivada da carga em relação ao tempo), podemos substituir tudo na equação:
Como
é constante, temos uma equação diferencial de segunda ordem para
:
Passo 4
Vamos inserir os valores dados no problema:
Simplificando:
Passo 5
Agora, resolvemos essa equação diferencial. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea:
Assumindo uma solução do tipo
, substituímos na equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
A solução geral da equação homogênea é:
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Como o lado direito é constante (12), tentamos uma solução constante
.
Substituindo na equação:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 8
Condição inicial 1:
Substituindo
:
Condição inicial 2:
Primeiro, derivamos
:
No
:
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral:
Simplificando:
Para encontrar a corrente
, derivamos
:
Após simplificar:
Resposta
A carga e a corrente no instante
são dadas por: