Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo
para o domínio de
, facilitando a resolução de equações diferenciais. A definição é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Mas antes, para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica para escrever
de outra forma. Sabia que:
Isso ajuda porque agora temos funções mais simples para integrar.
Passo 4
Substituindo a identidade na definição da transformada de Laplace, ficamos com:
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes:
Sabemos que:
E:
Passo 6
Substituindo essas integrais de volta, temos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: