Resolver as seguintes equações diferenciais:
a d²y/dx² - 2 dy/dx + y = e^x/x.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem .
Conteúdo da Matéria: Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a Equação Homogênea:
Primeiro, consideramos a equação homogênea associada:
Para resolver, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
(raiz dupla)
Solução da Equação Homogênea:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Encontrando a Solução Particular usando Variação dos Parâmetros:
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivadas de :
Para simplificar, imponha:
E substitua na equação original para encontrar as equações para e .

Passo 4

Montando o Sistema de Equações:
Com as condições impostas:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Integrando:
Substituindo na primeira equação:
Integrando:

Passo 5

Obtendo a Solução Particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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