Resolver as seguintes equações diferenciais:
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Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
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Conteúdo da Matéria: Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral que envolve a solução da equação homogênea e uma solução particular usando o método de variação dos parâmetros.
Passo 2
Resolvendo a Equação Homogênea:
Primeiro, consideramos a equação homogênea associada:
Para resolver, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Solução da Equação Homogênea:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Encontrando a Solução Particular
usando Variação dos Parâmetros:
Assumimos uma solução particular da forma:
Derivadas de
:
Para simplificar, imponha:
E substitua na equação original para encontrar as equações para
e
.
Passo 4
Montando o Sistema de Equações:
Com as condições impostas:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Integrando:
Substituindo
na primeira equação:
Integrando:
Passo 5
Obtendo a Solução Particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.