Sejam e . Determine a transformada inversa de Laplace da função: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar a fração parcial, que nos ajuda a decompor funções racionais em partes mais simples que são mais fáceis de inverter.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função em termos de frações parciais. Queremos expressar como uma soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
De , temos .
De , substituindo temos .
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Passo 5
Substituindo os valores de , e na expressão das frações parciais:
Podemos simplificar ainda mais:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que: