Sejam F(s) = L(f(t)) e Y(s) = L{y(t)}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Y(s) = 3 / ((s - 1)(s^2 + 4)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar a fração parcial, que nos ajuda a decompor funções racionais em partes mais simples que são mais fáceis de inverter.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de frações parciais. Queremos expressar como uma soma de termos mais simples:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo temos .
  3. Substituindo e na terceira equação:
Então:

Passo 5

Substituindo os valores de , e na expressão das frações parciais:
Podemos simplificar ainda mais:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

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