Sejam F(s) = L(f(t)) e Y(s) = L{y(t)}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Y(s) = 2/(s^2(s+2)(s-1)) + 1/((s+2)(s-1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de uma função . O assunto aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e então aplicar as propriedades das transformadas de Laplace inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que precisamos inverter:
Para facilitar a hora de inverter, vamos combinar os dois termos em uma única fração:
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como uma soma de termos mais simples, onde cada termo tem um denominador que é um dos fatores do denominador original. Suponhamos que:

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A, B, C e D. Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Para encontrar os valores de A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de s que simplificam a equação:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para um valor de s diferente, vamos escolher para resolver para A:

Passo 4

Agora que temos os valores de A, B, C e D, podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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