Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de uma função
. O assunto aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil em engenharia e matemática para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma decomposição em frações parciais e então aplicar as propriedades das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
que precisamos inverter:
Para facilitar a hora de inverter, vamos combinar os dois termos em uma única fração:
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como uma soma de termos mais simples, onde cada termo tem um denominador que é um dos fatores do denominador original. Suponhamos que:
Passo 3
Agora, vamos resolver para encontrar os valores de A, B, C e D. Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Para encontrar os valores de A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para um valor de
diferente, vamos escolher para resolver para A:
Passo 4
Agora que temos os valores de A, B, C e D, podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: