Suponha que a taxa de variação em relação ao tempo da população de uma cidade seja dada por
d p/d t = N p - M p^2 + I
onde N é a taxa de nascimentos, M é a taxa de óbitos e I é um termo associado à imigração, constante. Resolva a equaçõo diferencial e responda: há equilíbrio populacional neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a população de uma cidade muda ao longo do tempo, levando em conta nascimentos, óbitos e imigração. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para descobrir se existe um ponto de equilíbrio populacional, ou seja, se a população para de crescer ou diminuir em algum momento.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo mais claro:
Aqui, representa a taxa de variação da população em relação ao tempo, N é a taxa de nascimentos, M é a taxa de óbitos, e I é a imigração constante.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear devido ao termo p^2. Para resolver, vamos tentar separar as variáveis p e t. Primeiro, vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com p de um lado e do outro:

Passo 5

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser um pouco complicada por causa do polinômio de segundo grau no denominador, mas podemos simplificar usando frações parciais.

Passo 6

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação quadrática para fatorar mais.

Passo 7

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Essas soluções nos dão os pontos onde a taxa de variação da população é zero, ou seja, os pontos de equilíbrio.

Resposta

Sim, existe equilíbrio populacional nesse caso. Os valores de p encontrados resolvendo a equação quadrática representam os pontos onde a população se estabiliza, deixando de crescer ou diminuir.

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