Suponha que a taxa de variação em relação ao tempo da população de uma cidade seja dada por
d p/d t = N p - M p^2 + I
onde N é a taxa de nascimentos, M é a taxa de óbitos e I é um termo associado à imigração, constante. Resolva a equaçõo diferencial e responda: há equilíbrio populacional neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a população de uma cidade muda ao longo do tempo, levando em conta nascimentos, óbitos e imigração. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para descobrir se existe um ponto de equilíbrio populacional, ou seja, se a população para de crescer ou diminuir em algum momento.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo mais claro:
y = sen(x^2)
Aqui, y = sen(x^2) representa a taxa de variação da população em relação ao tempo, é a taxa de nascimentos, N é a taxa de óbitos, e M é a imigração constante.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear devido ao termo p^2. Para resolver, vamos tentar separar as variáveis p e t. Primeiro, vamos reorganizar a equação:
y = sen(x^2)

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com p de um lado e do outro:
y = sen(x^2)

Passo 5

A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser um pouco complicada por causa do polinômio de segundo grau no denominador, mas podemos simplificar usando frações parciais.

Passo 6

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração:
y = sen(x^2)
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação quadrática y = sen(x^2) para fatorar mais.

Passo 7

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
y = sen(x^2)
Essas soluções nos dão os pontos onde a taxa de variação da população é zero, ou seja, os pontos de equilíbrio.

Resposta

Sim, existe equilíbrio populacional nesse caso. Os valores de p encontrados resolvendo a equação quadrática representam os pontos onde a população se estabiliza, deixando de crescer ou diminuir.

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é uma equação de Riccati.<br>
Mostre que, se <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“8.899ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3933.6 1000”><title>A(x) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D434” d=“M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(750,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1139,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1711,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2377.8,0)”><path data-c=“2261” d=“M56 444Q56 457 70 464H707Q722 456 722 444Q722 430 706 424H72Q56 429 56 444ZM56 237T56 250T70 270H707Q722 262 722 250T707 230H70Q56 237 56 250ZM56 56Q56 71 72 76H706Q722 70 722 56Q722 44 707 36H70Q56 43 56 56Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3433.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, a equação é linear, e se <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“8.922ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 3943.6 1000”><title>C(x) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D436” d=“M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(760,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1149,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1721,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2387.8,0)”><path data-c=“2261” d=“M56 444Q56 457 70 464H707Q722 456 722 444Q722 430 706 424H72Q56 429 56 444ZM56 237T56 250T70 270H707Q722 262 722 250T707 230H70Q56 237 56 250ZM56 56Q56 71 72 76H706Q722 70 722 56Q722 44 707 36H70Q56 43 56 56Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3443.6,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, a equação é uma equação de Bernoulli.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Considere um paraquedista de <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.466ex;” xmlns=“
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