Suponha que a taxa de variação em relação ao tempo da população de uma cidade seja dada por
onde
é a taxa de nascimentos,
é a taxa de óbitos e
é um termo associado à imigração, constante. Resolva a equaçõo diferencial e responda: há equilíbrio populacional neste caso?
onde
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem uma equação que descreve como a população de uma cidade muda ao longo do tempo, levando em conta nascimentos, óbitos e imigração. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para descobrir se existe um ponto de equilíbrio populacional, ou seja, se a população para de crescer ou diminuir em algum momento.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo mais claro:
Aqui,
representa a taxa de variação da população em relação ao tempo,
é a taxa de nascimentos,
é a taxa de óbitos, e
é a imigração constante.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear devido ao termo
. Para resolver, vamos tentar separar as variáveis
e
. Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e
do outro:
Passo 5
A próxima etapa é integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser um pouco complicada por causa do polinômio de segundo grau no denominador, mas podemos simplificar usando frações parciais.
Passo 6
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração:
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação quadrática
para fatorar mais.
Passo 7
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Essas soluções nos dão os pontos onde a taxa de variação da população é zero, ou seja, os pontos de equilíbrio.
Resposta
Sim, existe equilíbrio populacional nesse caso. Os valores de
encontrados resolvendo a equação quadrática representam os pontos onde a população se estabiliza, deixando de crescer ou diminuir.