Circulação zero Seja f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2). Mostre que a circulação em sentido horário do campo F = nabla f ao redor da circunferência x^2 + y^2 = a^2 no plano x y é zero:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a circulação em sentido horário do campo vetorial ao redor da circunferência no plano é zero. Aqui, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e circulação de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é dada pela integral de linha , onde é o campo vetorial e é a curva.

Passo 3

Agora, observamos que é o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Campos que são gradientes de funções escalares são chamados de campos conservativos. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a circulação ao redor de qualquer caminho fechado é zero, desde que o campo seja definido e suave na região considerada.

Passo 4

Vamos verificar se é realmente um campo conservativo no nosso caso. A função é diferenciável em todo lugar, exceto na origem . Como nossa circunferência está no plano e , a origem não está incluída no nosso caminho. Portanto, é conservativo ao longo da circunferência considerada.

Passo 5

Com isso, aplicamos a propriedade dos campos conservativos: a circulação de ao redor de uma curva fechada é zero. Então, temos:

Resposta

A circulação em sentido horário do campo ao redor da circunferência no plano é zero.

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