Circulação zero Seja
. Mostre que a circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a circulação em sentido horário do campo vetorial
ao redor da circunferência
no plano
é zero. Aqui,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e circulação de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é dada pela integral de linha
, onde
é o campo vetorial e
é a curva.
Passo 3
Agora, observamos que
é o gradiente de uma função escalar, ou seja,
. Campos que são gradientes de funções escalares são chamados de campos conservativos. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a circulação ao redor de qualquer caminho fechado é zero, desde que o campo seja definido e suave na região considerada.
Passo 4
Vamos verificar se
é realmente um campo conservativo no nosso caso. A função
é diferenciável em todo lugar, exceto na origem
. Como nossa circunferência
está no plano
e
, a origem não está incluída no nosso caminho. Portanto,
é conservativo ao longo da circunferência considerada.
Passo 5
Com isso, aplicamos a propriedade dos campos conservativos: a circulação de
ao redor de uma curva fechada
é zero. Então, temos:
Resposta
A circulação em sentido horário do campo
ao redor da circunferência
no plano
é zero.
Exercícios relacionados
Mostre que se
, então
.
Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
19. Circulação zero Utilize a identidade
Determine se a série é convergente ou divergente.
Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.