Circulação zero Seja . Mostre que a circulação em sentido horário do campo ao redor da circunferência no plano é zero:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a circulação em sentido horário do campo vetorial ao redor da circunferência no plano é zero. Aqui, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e circulação de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é dada pela integral de linha , onde é o campo vetorial e é a curva.

Passo 3

Agora, observamos que é o gradiente de uma função escalar, ou seja, . Campos que são gradientes de funções escalares são chamados de campos conservativos. Uma propriedade importante de campos conservativos é que a circulação ao redor de qualquer caminho fechado é zero, desde que o campo seja definido e suave na região considerada.

Passo 4

Vamos verificar se é realmente um campo conservativo no nosso caso. A função é diferenciável em todo lugar, exceto na origem . Como nossa circunferência está no plano e , a origem não está incluída no nosso caminho. Portanto, é conservativo ao longo da circunferência considerada.

Passo 5

Com isso, aplicamos a propriedade dos campos conservativos: a circulação de ao redor de uma curva fechada é zero. Então, temos:

Resposta

A circulação em sentido horário do campo ao redor da circunferência no plano é zero.

Exercícios relacionados

Mostre que se , então .
Teoria e exemplos
19. Circulação zero Utilize a identidade (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
Determine se a série é convergente ou divergente.
Use o qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente ou divergente.