A circular disk of radius lies in the -plane with its center at the origin. The half of the disk above the -axis has a density per unit area, and the half below the -axis has a density . Find the center of mass , and the moments of inertia about the -, -, and -axes, and about parallel axes through . Make as much use of labor-saving theorems as possible.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco circular de raio $ a $ no plano $ xy $, com o centro na origem. A parte de cima do disco (acima do eixo $ x $) tem densidade $ \sigma $ por unidade de área, e a parte de baixo tem densidade $ 2\sigma $. Nosso objetivo é encontrar o centro de massa $ G $ e os momentos de inércia em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $, além dos momentos de inércia em eixos paralelos que passam por $ G $. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e momentos de inércia, além de aproveitar teoremas que facilitam nossos cálculos, como o teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o centro de massa $ G $. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. Como a densidade varia entre a parte de cima e a de baixo do disco, precisamos calcular as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ do centro de massa.
Sabemos que $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ são dadas por:
onde $ M $ é a massa total do disco.
Como o sistema é simétrico em relação ao eixo $ y $, a coordenada $ \overline{x} $ será zero. Vamos focar em encontrar $ \overline{y} $.
Passo 3
Vamos calcular a massa total $ M $ do disco. Dividimos o disco em duas partes: superior e inferior.
A massa da parte superior $ M_1 $ é:
M Á
A massa da parte inferior $ M_2 $ é:
M1
Portanto, a massa total $ M $ é:
M1 = sigma cdot Área = sigma cdot pi a^22
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \overline{y} $. Considerando que a parte superior está acima do eixo $ x $ e a inferior abaixo, e que a densidade é constante em cada metade, podemos usar simetria para facilitar.
A coordenada $ \overline{y} $ será:
y
Onde $ \overline{y}_1 $ é a coordenada $ y $ do centro de massa da parte superior e $ \overline{y}_2 $ da parte inferior.
Para um semicírculo, o centro de massa está a uma distância $ \frac{4a}{3\pi} $ do eixo.
Então:
x
Substituindo:
y
Simplificando:
y = 1M ( M1 cdot y1 + M2 cdot y2 )
Isso mostra que, apesar das densidades serem diferentes, o centro de massa está na origem devido à simetria.
Passo 5
Com o centro de massa $ G $ na origem, os momentos de inércia em relação aos eixos $ x $, $ y $ e $ z $ são os mesmos quando calculados sobre a origem ou sobre $ G $. Vamos calcular os momentos de inércia para cada metade e somar.
Para um semicírculo, os momentos de inércia em relação ao eixo diametral ($ I_x $ ou $ I_y $) são:
G í
E em relação ao eixo perpendicular ao plano ($ I_z $):
x
Calculando para as duas metades:
Para a metade superior:
y
z
Para a metade inferior:
G
Ix
Somando as duas partes:
Iy
Isemicírculo = 12 cdot 12 M R^2 = 14 M R^2
Iz
Resposta
O centro de massa $ G $ está na origem G , e os momentos de inércia são:
(0, 0)
Ix = Iy = 38 sigma pi a^4
Como o centro de massa está na origem, os momentos de inércia em eixos paralelos a $ x $, $ y $ e $ z $ também são: